Bac 2026, Amérique du Nord : exercice 2

Partie A

Question 1.

La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ car, pour tout réel $x$, $1+x^{2}\geqslant1>0$ : le dénominateur $\sqrt{1+x^{2}}$ est strictement positif.

Soit $x$ un réel. Comme $\sqrt{1+x^{2}}>0$, on peut multiplier les deux membres de l'équation par ce nombre sans changer l'ensemble des solutions :

On regroupe les termes dans un même membre et on factorise :

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul. Deux cas se présentent.

Premier cas : $x=0$.

Second cas : $\sqrt{1+x^{2}}=2$. Les deux membres étant positifs, cette équation équivaut à $1+x^{2}=4$, soit $x^{2}=3$, donc $x=\sqrt3$ ou $x=-\sqrt3$.

Donc l'ensemble des solutions de l'équation $f(x)=x$ est $\left\{-\sqrt3\,;\,0\,;\,\sqrt3\right\}$.

Réponse : $S=\left\{-\sqrt3\,;\,0\,;\,\sqrt3\right\}$.

Question 2. a)

On écrit $f=\dfrac uv$ avec, pour tout réel $x$,

La fonction $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $u'(x)=2$.

La fonction $v$ est de la forme $\sqrt{w}$ avec $w(x)=1+x^{2}$ dérivable et strictement positive sur $\mathbb{R}$. D'après la formule de dérivation d'une composée, $v'=\dfrac{w'}{2\sqrt{w}}$, donc

La fonction $v$ ne s'annule pas, donc d'après la formule de dérivation d'un quotient, $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ :

On met le numérateur au même dénominateur, en écrivant $\sqrt{1+x^{2}}=\dfrac{1+x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}}$ :

Donc, pour tout réel $x$, $f'(x)=\dfrac{2}{(1+x^{2})\sqrt{1+x^{2}}}$.

Question 2. b)

Pour tout réel $x$, on a $2>0$, $1+x^{2}>0$ et $\sqrt{1+x^{2}}>0$.

Donc le quotient $f'(x)$ est strictement positif pour tout réel $x$.

Une fonction dérivable dont la dérivée est strictement positive est strictement croissante. Donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Partie B

Question 1.

Soit $P(n)$ la propriété : $1\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}<\sqrt3$.

Initialisation. On a $u_0=1$ et $u_1=f(1)=\dfrac{2}{\sqrt2}=\sqrt2$. Or $1\leqslant\sqrt2<\sqrt3$, donc $1\leqslant u_0\leqslant u_1<\sqrt3$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire

Montrons $P(k+1)$, c'est-à-dire $1\leqslant u_{k+1}\leqslant u_{k+2}<\sqrt3$.

D'après la partie A, la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, donc elle conserve l'ordre. On applique $f$ à chaque membre de l'hypothèse de récurrence :

On identifie chaque terme :

• $f(1)=\sqrt2$, et $\sqrt2\geqslant1$

• $f(u_k)=u_{k+1}$ et $f(u_{k+1})=u_{k+2}$, par définition de la suite

• $f\left(\sqrt3\right)=\dfrac{2\sqrt3}{\sqrt{1+3}}=\dfrac{2\sqrt3}{2}=\sqrt3$.

On obtient donc $\sqrt2\leqslant u_{k+1}\leqslant u_{k+2}<\sqrt3$, et comme $1\leqslant\sqrt2$, on en déduit

Donc $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$, c'est-à-dire que $1\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}<\sqrt3$ pour tout $n$.

Question 2.

D'après la question précédente, pour tout $n$, $u_n\leqslant u_{n+1}$ : la suite $(u_n)$ est croissante. De plus $u_n<\sqrt3$ pour tout $n$ : elle est majorée par $\sqrt3$.

D'après le théorème de la limite monotone (une suite croissante et majorée converge), la suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$.

Comme $1\leqslant u_n<\sqrt3$ pour tout $n$, par passage à la limite dans les inégalités larges on a $1\leqslant\ell\leqslant\sqrt3$.

La fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ (car dérivable). Comme $u_{n+1}=f(u_n)$ et que $(u_n)$ converge vers $\ell$, on obtient en passant à la limite

D'après la question 1 de la partie A, $\ell\in\left\{-\sqrt3\,;0\,;\sqrt3\right\}$. Comme $\ell\geqslant1$, les valeurs $-\sqrt3$ et $0$ sont exclues, donc $\ell=\sqrt3$.

Donc la suite $(u_n)$ converge et sa limite est $\sqrt3$.

Réponse : $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\sqrt3$.

Question 3. a)

Pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=\dfrac{2u_n}{\sqrt{1+u_n^{2}}}$, donc

On en déduit

On calcule alors $v_{n+1}$, la suite $(v_n)$ étant bien définie :

Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $4$. Son premier terme est

Réponse : $(v_n)$ est géométrique de raison $4$ et de premier terme $v_0=\dfrac12$.

Question 3. b)

Une suite géométrique de premier terme $v_0$ et de raison $q$ vérifie $v_n=v_0\,q^{n}$. Donc, pour tout entier naturel $n$,

On exprime maintenant $u_n^{2}$ en fonction de $v_n$. De $v_n=\dfrac{u_n^{2}}{3-u_n^{2}}$ on tire

Comme $1+v_n>0$,

Comme $u_n\geqslant1>0$, on a $u_n=\sqrt{u_n^{2}}$, donc

Question 3. c)

On divise le numérateur et le dénominateur de $u_n^{2}$ par $4^{n}>0$ :

Comme $-1<\dfrac14<1$, on a $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac14\right)^{n}=0$.

Par somme puis quotient, $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n^{2}=\dfrac{1{,}5}{0+0{,}5}=3$.

La fonction racine carrée est continue sur $[0\,;+\infty[$, donc par composition

Donc on retrouve la limite obtenue à la question 2.

Réponse : $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\sqrt3$.

Partie C

Question 1.

La variable u contient le terme courant de la suite, initialement $u_0=1$.

À chaque passage dans la boucle, on ajoute à S le carré de u, puis on remplace u par le terme suivant $f(u)=\dfrac{2u}{\sqrt{1+u^{2}}}$, enfin on ajoute S à la liste. Après le $i$-ième passage, S vaut donc $u_0^{2}+\dots+u_{i-1}^{2}=S_i$.

Le script complété est :

from math import *

def termes(p):
    u = 1
    S = 0
    L = []
    for i in range(p):
        S = S + u**2
        u = 2*u/sqrt(1 + u**2)
        L.append(S)
    return L

Vérification : pour $p=3$, la liste renvoyée est $[S_1,S_2,S_3]=\left[1\,;3\,;\dfrac{17}{3}\right]$, car $u_0^{2}=1$, $u_1^{2}=2$ et $u_2^{2}=\dfrac83$.

Question 2.

D'après le rappel, pour tout entier naturel $k$, $1\leqslant u_k\leqslant\sqrt3$.

La fonction carré est strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$ et tous ces nombres sont positifs, donc

On écrit cet encadrement pour $k=0{,}1,\dots,n-1$, soit $n$ inégalités, puis on les additionne membre à membre :

C'est-à-dire

Donc, pour tout entier naturel $n$ non nul, $n\leqslant S_n\leqslant3n$.

Question 3.

Limite de $S_n$. Pour tout $n\geqslant1$, $S_n\geqslant n$, et $\lim\limits_{n\to+\infty}n=+\infty$. D'après le théorème de comparaison, $\lim\limits_{n\to+\infty}S_n=+\infty$.

Limite de $\dfrac{S_n}{n^{2}}$. On divise l'encadrement $n\leqslant S_n\leqslant3n$ par $n^{2}>0$, ce qui conserve le sens des inégalités :

On a $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac1n=0$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac3n=0$. D'après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{S_n}{n^{2}}=0$.

Donc $\lim\limits_{n\to+\infty}S_n=+\infty$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{S_n}{n^{2}}=0$.

Réponse : $\lim\limits_{n\to+\infty}S_n=+\infty$   $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{S_n}{n^{2}}=0$.

Points clés attendus

• Dériver un quotient en détaillant $u$, $v$, $u'$, $v'$, puis conclure au signe de $f'$ par stricte positivité de chaque facteur.

• Récurrence rédigée complètement, avec l'usage explicite de la stricte croissance de $f$ et le calcul de $f(1)$ et de $f(\sqrt3)$.

• Citer le théorème de la limite monotone, puis justifier que la limite $\ell$ vérifie $f(\ell)=\ell$ (continuité de $f$) et éliminer $-\sqrt3$ et $0$ grâce à $\ell\geqslant1$.

• Montrer $v_{n+1}=4v_n$ en calculant d'abord $3-u_{n+1}^{2}$, puis exprimer $u_n^{2}$ en fonction de $v_n$.

• Sommer l'encadrement $1\leqslant u_k^{2}\leqslant3$ pour obtenir $n\leqslant S_n\leqslant3n$, puis nommer le théorème de comparaison et le théorème des gendarmes.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.