Bac 2026, Amérique du Nord : exercice 1

Partie A

Question 1. Complétons l'arbre à partir des données de l'énoncé.

L'énoncé donne $P(E)=0{,}25$ et $P(F)=0{,}15$.

Les évènements $E$, $C$, $F$ correspondent aux trois types d'abonnement : ils sont deux à deux incompatibles et leur réunion est l'univers. Donc

L'énoncé donne aussi $P_E(H)=0{,}45$ et $P_C(H)=0{,}30$.

Pour la branche $F$, l'énoncé donne $P(F\cap H)=0{,}12$. Par définition de la probabilité conditionnelle (avec $P(F)\neq0$) :

Les deux branches issues d'un même nœud ont des probabilités de somme $1$ :

Donc l'arbre complété est le suivant :

• branches du premier niveau : $P(E)=0{,}25$   $P(C)=0{,}6$   $P(F)=0{,}15$

• sur la branche $E$ : $P_E(H)=0{,}45$ et $P_E(\overline{H})=0{,}55$

• sur la branche $C$ : $P_C(H)=0{,}3$ et $P_C(\overline{H})=0{,}7$

• sur la branche $F$ : $P_F(H)=0{,}8$ et $P_F(\overline{H})=0{,}2$.

Question 2. D'après la formule des probabilités composées (définition de la probabilité conditionnelle) :

Sous forme de fraction : $0{,}1125=\dfrac{1125}{10\,000}=\dfrac{9}{80}$.

Donc la probabilité que l'abonné ait choisi l'abonnement « Étudiant » et activé l'option est $\dfrac{9}{80}$.

Réponse : $P(E\cap H)=\dfrac{9}{80}=0{,}1125$.

Question 3. Les évènements $E$, $C$ et $F$ sont deux à deux incompatibles et leur réunion est l'univers : ils forment une partition de l'univers.

D'après la formule des probabilités totales :

On a $P(E\cap H)=0{,}1125$ (question 2) et $P(F\cap H)=0{,}12$ (énoncé).

On a $P(C\cap H)=P(C)\times P_C(H)=0{,}6\times0{,}3=0{,}18$.

Donc

Donc la probabilité qu'un abonné ait activé l'option « Écoute hors-ligne » est bien égale à $0{,}4125$.

Question 4. On cherche la probabilité de $E$ sachant $H$, c'est-à-dire $P_H(E)$. L'évènement $H$ est de probabilité non nulle, donc

Donc, sachant qu'un abonné a activé l'option « Écoute hors-ligne », la probabilité qu'il ait choisi l'abonnement « Étudiant » est $0{,}273$, arrondie au millième.

Réponse : $P_H(E)=\dfrac{3}{11}\approx0{,}273$.

Partie B

Question 1. On choisit huit abonnés au hasard et de manière indépendante, avec assimilation à un tirage avec remise. Chaque choix est une épreuve de Bernoulli dont le succès est « l'abonné a activé l'option », de probabilité $p=0{,}4125$ (partie A). Ces $8$ épreuves sont identiques et indépendantes.

$X$ compte le nombre de succès : $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=8$ et $p=0{,}4125$.

Réponse : $X\sim\mathcal{B}(8\,;0{,}4125)$.

Question 2. On cherche $P(X=0)$. D'après la formule de la loi binomiale :

À la calculatrice, $0{,}5875^{8}\approx0{,}01419$.

Donc la probabilité qu'aucun des huit abonnés n'ait activé l'option est environ $0{,}014$, arrondie au millième.

Réponse : $P(X=0)=0{,}5875^{8}\approx0{,}014$.

Question 3. a) Soit $n$ un entier naturel non nul. Le nombre $X_n$ d'abonnés de l'échantillon ayant activé l'option suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $0{,}4125$ (mêmes justifications qu'à la question 1 de la partie B).

L'évènement « au moins un abonné a activé l'option » est l'évènement contraire de « aucun abonné n'a activé l'option », c'est-à-dire de $\{X_n=0\}$.

Donc

Donc, pour tout entier $n\geqslant1$, $q_n=1-0{,}5875^n$.

Question 3. b) On cherche le plus petit entier $n\geqslant1$ tel que $q_n\geqslant0{,}999$.

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$, et les deux membres sont strictement positifs : on peut donc l'appliquer en conservant le sens de l'inégalité.

Comme $0<0{,}5875<1$, on a $\ln(0{,}5875)<0$. En divisant par ce nombre strictement négatif, le sens de l'inégalité change :

Contrôle numérique : $q_{12}\approx0{,}9983<0{,}999$ et $q_{13}\approx0{,}99901\geqslant0{,}999$.

Donc le plus petit entier $n$ convenable est $n=13$ : il faut un échantillon d'au moins $13$ abonnés pour que la probabilité qu'au moins un d'entre eux ait activé l'option soit supérieure ou égale à $99{,}9\,\%$.

Réponse : $n=13$.

Partie C

Question 1. Le montant mensuel est le prix de l'abonnement, augmenté de $2$ euros si l'option est activée.

Sans option : $5$ euros (Étudiant), $10$ euros (Classique), $16$ euros (Famille).

Avec option : $5+2=7$ euros, $10+2=12$ euros, $16+2=18$ euros.

Donc les six valeurs possibles de $Y$ sont $5$, $7$, $10$, $12$, $16$ et $18$ (en euros).

Réponse : $Y$ prend les valeurs $5$, $7$, $10$, $12$, $16$, $18$.

Question 2. Chaque valeur de $Y$ correspond à un couple (abonnement, option). On utilise l'arbre complété à la question 1 de la partie A.

• $P(Y=5)=P(E\cap\overline{H})=0{,}25\times0{,}55=0{,}1375$

• $P(Y=7)=P(E\cap H)=0{,}1125$

• $P(Y=10)=P(C\cap\overline{H})=0{,}6\times0{,}7=0{,}42$

• $P(Y=12)=P(C\cap H)=0{,}6\times0{,}3=0{,}18$

• $P(Y=16)=P(F\cap\overline{H})=0{,}15\times0{,}2=0{,}03$

• $P(Y=18)=P(F\cap H)=0{,}12$.

Vérification : $0{,}1375+0{,}1125+0{,}42+0{,}18+0{,}03+0{,}12=1$.

Donc la loi de probabilité de $Y$ est la suivante, en donnant pour chaque valeur $y_i$ la probabilité $P(Y=y_i)$ :

• $y_i=5$ : $0{,}1375$

• $y_i=7$ : $0{,}1125$

• $y_i=10$ : $0{,}42$

• $y_i=12$ : $0{,}18$

• $y_i=16$ : $0{,}03$

• $y_i=18$ : $0{,}12$.

Question 3. Par définition de l'espérance :

On calcule chaque produit :

Donc

Interprétation : sur un grand nombre d'abonnés, le montant mensuel moyen payé par un abonné est de $10{,}475$ euros.

Question 4. On utilise la formule de König-Huygens : $V(Y)=E(Y^2)-\left(E(Y)\right)^2$.

On a

Donc

Donc la variance de $Y$ est $13{,}70$, arrondie au centième (ce que donne aussi la calculatrice en mode statistiques à une variable).

Réponse : $V(Y)\approx13{,}70$.

Question 5. a) La variance est le carré de l'écart-type : $V(Z)=\sigma(Z)^2=2^2=4$.

Donc $V(Z)=4$.

Réponse : $V(Z)=4$.

Question 5. b) On a $E(Z)=9$ et $V(Z)=4$.

L'évènement $6<Z<12$ équivaut à $-3<Z-9<3$, c'est-à-dire à $|Z-9|<3$. Son contraire est $|Z-9|\geqslant3$.

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'applique à la variable aléatoire $Z$, d'espérance $E(Z)$ et de variance $V(Z)$ : pour tout réel $\delta>0$,

Avec $\delta=3$ :

Donc

Or $\dfrac59\approx0{,}556>0{,}5$.

Donc $P(6<Z<12)\geqslant\dfrac59>\dfrac12$ : l'affirmation du responsable est justifiée, il y a au moins $50\,\%$ de chances que le prix de l'abonnement d'un abonné pris au hasard soit strictement compris entre $6$ et $12$ euros.

Points clés attendus

• Calculer $P_F(H)$ à partir de $P(F\cap H)$ et $P(F)$, et compléter l'arbre avec les probabilités des évènements contraires.

• Citer la partition $\{E\,;C\,;F\}$ pour la formule des probabilités totales.

• Justifier la loi binomiale (répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes) et donner ses paramètres.

• Résoudre $0{,}5875^n\leqslant0{,}001$ avec le logarithme en changeant le sens de l'inégalité (car $\ln(0{,}5875)<0$).

• Écrire l'évènement $6<Z<12$ sous la forme $|Z-9|<3$ avant d'appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à son contraire.

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