Bac 2025, Nouvelle-Calédonie : exercice 2

Partie A

D'après la figure, le carré OIKJ a pour côté 1 et pour aire 1. Les trois zones forment une partition du carré.

Zone 1. C'est la région du carré située au-dessus de la droite d'équation $y=x$. C'est un triangle rectangle isocèle dont les deux côtés de l'angle droit mesurent 1. Son aire vaut

Zone 2. C'est la région située entre l'axe des abscisses et la parabole d'équation $y=x^2$, pour $x$ compris entre 0 et 1.

La fonction $x\mapsto x^2$ est continue et positive sur $[0\,;1]$. Son aire, en unités d'aire, est donc l'intégrale

Zone 3. Les trois zones se partagent le carré d'aire 1, donc

On peut le vérifier directement : pour tout $x\in[0\,;1]$, on a $x\geqslant x^2$, donc la zone 3 est la région comprise entre la droite et la parabole, d'aire

Les aires des zones 1, 2 et 3 sont donc respectivement $\dfrac12$, $\dfrac13$ et $\dfrac16$.

Partie B

Question 1.

Les données traduites en probabilités sont :

Si la fléchette tombe sur la zone 3, le joueur lance une pièce équilibrée et gagne avec PILE :

Sinon, le joueur lance un dé équilibré à six faces et gagne avec la face 6 :

Arbre pondéré : de la racine partent deux branches, $T$ de poids $\dfrac16$ et $\overline T$ de poids $\dfrac56$. De $T$ partent deux branches $G$ et $\overline G$ de poids $\dfrac12$ chacune. De $\overline T$ partent deux branches $G$ de poids $\dfrac16$ et $\overline G$ de poids $\dfrac56$.

Question 2.

Les évènements $T$ et $\overline T$ forment une partition de l'univers (leurs probabilités sont non nulles). D'après la formule des probabilités totales :

Donc la probabilité que le joueur gagne est $P(G)=\dfrac29$.

Question 3.

On cherche la probabilité de $T$ sachant $G$. Par définition de la probabilité conditionnelle (avec $P(G)\neq0$) :

On a $P(T\cap G)=P(T)\times P_T(G)=\dfrac16\times\dfrac12=\dfrac1{12}$, donc

Donc, sachant que le joueur a gagné, la probabilité que la fléchette soit tombée sur la zone 3 est $\dfrac38=0{,}375$.

Réponse : $P_G(T)=\dfrac38=0{,}375$.

Partie C

La probabilité de chaque zone est son aire. Le gain $X_1$ est le numéro de la zone, donc la loi de $X_1$ est :

On vérifie que $\dfrac12+\dfrac13+\dfrac16=1$.

Question 1. a)

Par définition de l'espérance :

Donc le gain moyen d'un joueur est $E(X_1)=\dfrac53$ euro.

Réponse : $E(X_1)=\dfrac53$.

Question 1. b)

D'après la formule de König-Huygens, $V(X_1)=E\left(X_1^2\right)-\left(E(X_1)\right)^2$.

On calcule d'abord

Donc

Donc $V(X_1)=\dfrac59$.

Question 2. a)

Chaque gain est au plus égal à 3. La somme $Y=X_1+X_2+X_3$ vaut 9 si et seulement si $X_1=3$, $X_2=3$ et $X_3=3$.

Les parties des trois joueurs sont indépendantes, donc

Donc la probabilité que $Y=9$ est $\dfrac1{216}$.

Réponse : $P(Y=9)=\dfrac1{216}$.

Question 2. b)

Par linéarité de l'espérance, $E(Y)=E(X_1)+E(X_2)+E(X_3)$.

Les trois joueurs jouent dans les mêmes conditions : $X_1$, $X_2$ et $X_3$ ont la même loi, donc la même espérance $\dfrac53$. D'où

Donc l'espérance de la somme des gains des trois joueurs est 5 euros.

Réponse : $E(Y)=5$.

Question 2. c)

Les variables aléatoires $X_1$, $X_2$ et $X_3$ sont indépendantes, donc la variance de leur somme est la somme de leurs variances :

Ces trois variables ayant la même loi, elles ont la même variance $\dfrac59$, donc

Donc $V(Y)=\dfrac53$.

Points clés attendus

• Partie A : l'aire de la zone 2 est une intégrale d'une fonction continue et positive   l'aire de la zone 3 s'obtient par différence ou par l'intégrale de $x-x^2$.

• Partie B : citer la formule des probabilités totales avec la partition $\{T,\overline T\}$, puis la définition de la probabilité conditionnelle.

• Partie C : poser la loi de $X_1$, citer la formule de König-Huygens pour la variance.

• Pour $Y$, justifier l'indépendance avant d'additionner les variances, et la linéarité pour l'espérance.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.