Bac 2026, Amérique du Nord : exercice 2

Partie A

Question 1. Au $1^{\text{er}}$ janvier 2026, on est au rang $n=1$. On a $u_0=4$, donc

Donc, d'après ce modèle, il y a $3$ milliers de perches-soleil au $1^{\text{er}}$ janvier 2026, soit 3000 individus.

Réponse : $u_1=3$, soit 3000 perches-soleil.

Question 2. a) La fonction $h$ est définie sur $]0\,;+\infty[$ par $h(x)=4-\dfrac4x$.

La fonction inverse est dérivable sur $]0\,;+\infty[$, donc $h$ y est dérivable, et pour tout $x>0$ :

Pour tout $x>0$, $x^2>0$ donc $h'(x)>0$.

Donc $h$ est strictement croissante, en particulier croissante, sur $]0\,;+\infty[$.

Question 2. b) Pour tout entier naturel $n$, on note $\mathcal{P}(n)$ la propriété

Initialisation. On a $u_0=4$ et $u_1=3$ (question 1). Alors $2\leqslant3\leqslant4\leqslant4$, c'est-à-dire $2\leqslant u_1\leqslant u_0\leqslant4$ : $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $\mathcal{P}(k)$ soit vraie, c'est-à-dire $2\leqslant u_{k+1}\leqslant u_k\leqslant4$ (hypothèse de récurrence). Montrons que $\mathcal{P}(k+1)$ est vraie, c'est-à-dire $2\leqslant u_{k+2}\leqslant u_{k+1}\leqslant4$.

Les réels $2$, $u_{k+1}$, $u_k$ et $4$ appartiennent à $]0\,;+\infty[$, intervalle sur lequel $h$ est croissante (question 2. a). On applique donc $h$ à chaque membre de l'hypothèse de récurrence en conservant le sens des inégalités :

Or $h(2)=4-\dfrac42=2$ et $h(4)=4-\dfrac44=3$. De plus, par définition de la suite, $h(u_{k+1})=u_{k+2}$ et $h(u_k)=u_{k+1}$.

On obtient donc

Comme $3\leqslant4$, on en déduit $2\leqslant u_{k+2}\leqslant u_{k+1}\leqslant4$ : $\mathcal{P}(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $\mathcal{P}(0)$ est vraie et $\mathcal{P}$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$, c'est-à-dire

Question 2. c) D'après la question 2. b), pour tout entier $n$, $u_{n+1}\leqslant u_n$ : la suite $(u_n)$ est décroissante. De plus, pour tout $n$, $u_n\geqslant2$ : la suite $(u_n)$ est minorée par $2$.

D'après le théorème de la limite monotone (une suite décroissante et minorée converge), la suite $(u_n)$ est convergente.

Donc $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$.

Question 2. d) Pour tout $n$, $u_n\geqslant2$. Par passage à la limite dans cette inégalité large, $\ell\geqslant2$. Donc $\ell$ appartient à $]0\,;+\infty[$.

La fonction $h$ est continue sur $]0\,;+\infty[$ (elle y est dérivable). La suite $(u_n)$ converge vers $\ell$ avec $\ell\in]0\,;+\infty[$, donc $\left(h(u_n)\right)$ converge vers $h(\ell)$.

Or $h(u_n)=u_{n+1}$, et $(u_{n+1})$ converge aussi vers $\ell$. Par unicité de la limite, $\ell=h(\ell)$, c'est-à-dire

On multiplie par $\ell$, qui est non nul :

Donc $\ell=2$.

Question 2. e) La suite $(u_n)$ tend vers $2$, soit 2000 perches-soleil. Donc ce modèle ne prévoit pas d'élimination de l'espèce à long terme : la population se stabilise autour de 2000 individus.

Réponse : non, la population tend vers 2000 individus.

Question 3. a) La suite $(u_n)$ est décroissante et $s\in]2\,;4[$. On cherche le plus petit entier $n$ tel que $u_n<s$ : on calcule les termes successifs tant que la condition $u_n<s$ n'est pas atteinte, c'est-à-dire tant que $u\geqslant s$.

Le script complété est le suivant :

def population(s):
    u = 4
    n = 0
    while u >= s:
        u = 4 - 4/u
        n = n + 1
    return n

À la sortie de la boucle, $u=u_n$ avec $u_n<s$, et $n$ est le plus petit entier ayant cette propriété.

Question 3. b) La commande population(2.2) renvoie $10$ (valeur confirmée par exécution du script).

Justifions-le par le calcul. Montrons par récurrence que, pour tout entier $n$, $u_n=2+\dfrac{2}{n+1}$.

Initialisation. Pour $n=0$, $2+\dfrac{2}{1}=4=u_0$.

Hérédité. Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $u_k=2+\dfrac{2}{k+1}=\dfrac{2k+4}{k+1}$. Alors

C'est la formule au rang $k+1$.

Conclusion. D'après le principe de récurrence, $u_n=2+\dfrac{2}{n+1}$ pour tout entier $n$.

Alors

Donc le plus petit entier $n$ tel que $u_n<2{,}2$ est $n=10$. On a en effet $u_9=2+\dfrac{2}{10}=2{,}2$ (non strictement inférieur à $2{,}2$) et $u_{10}=2+\dfrac{2}{11}\approx2{,}18<2{,}2$.

Donc population(2.2) renvoie $10$.

Interprétation : $2025+10=2035$. C'est au $1^{\text{er}}$ janvier 2035 que, pour la première fois, le nombre de perches-soleil devient strictement inférieur à $2{,}2$ milliers, soit 2200 individus.

Réponse : population(2.2) renvoie $10$.

Partie B

Question 1. L'équation $(E)$ s'écrit $y'+y=2$, soit $y'=-y+2$. C'est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants, de la forme $y'=ay+b$ avec $a=-1$ et $b=2$.

La fonction constante $t\mapsto2$ est une solution particulière : $0+2=2$.

Les solutions de l'équation homogène $y'=-y$ sont les fonctions $t\mapsto C\mathrm{e}^{-t}$, avec $C\in\mathbb{R}$.

Donc l'ensemble des solutions de $(E)$ est l'ensemble des fonctions $t\mapsto C\mathrm{e}^{-t}+2$, où $C$ est un réel.

Question 2. La fonction $p$ est solution de $(E)$, donc il existe un réel $C$ tel que, pour tout $t\geqslant0$,

On a $p(0)=4$, et $p(0)=C\mathrm{e}^{0}+2=C+2$. Donc $C+2=4$, soit $C=2$.

Donc, pour tout $t\in[0\,;+\infty[$, $p(t)=2\mathrm{e}^{-t}+2$.

Question 3. On a $\displaystyle\lim_{t\to+\infty}(-t)=-\infty$ et $\displaystyle\lim_{X\to-\infty}\mathrm{e}^{X}=0$. Par composée, $\displaystyle\lim_{t\to+\infty}\mathrm{e}^{-t}=0$.

Donc, par produit et somme, $\displaystyle\lim_{t\to+\infty}p(t)=2\times0+2=2$.

La population tend vers $2$ milliers, soit 2000 individus. Donc, comme dans le modèle discret, ce modèle ne prévoit pas d'élimination de l'espèce à long terme.

Réponse : non, $\displaystyle\lim_{t\to+\infty}p(t)=2$ : la population se stabilise à 2000 individus.

Points clés attendus

• Récurrence rédigée complètement (initialisation, hérédité avec « soit $k$ fixé », conclusion) en citant la croissance de $h$ sur $]0\,;+\infty[$.

• Citer le théorème de la limite monotone (suite décroissante et minorée) pour la convergence.

• Pour trouver $\ell$, justifier que $h$ est continue en $\ell$ (avec $\ell\geqslant2>0$) avant d'écrire $\ell=h(\ell)$.

• Compléter le script avec la condition u >= s et interpréter le rang trouvé comme une année ($2025+n$).

• Résoudre l'équation différentielle (solution particulière puis solutions de l'équation homogène) et utiliser la condition initiale pour déterminer la constante.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.