Terminale Spé Maths / Chapitre 12 : Succession d'épreuves et loi binomiale / Annales du bac

Bac 2025, Centres étrangers : exercice 3

13 juin 2025 · jour 2 · 4 points

Le codage « base64 », utilisé en informatique, permet de représenter et de transmettre des messages et d'autres données telles que des images, en utilisant 64 caractères: les 26 lettres majuscules, les 26 lettres minuscules, les chiffres de 0 à 9 et deux autres caractères spéciaux.

Les parties { A, B} et { C} sont indépendantes.

Partie A

Dans cette partie, on s'intéresse aux séquences de 4 caractères en base64. Par exemple, « gP3g » est une telle séquence. Dans une séquence, l'ordre est à prendre en compte: les séquences « m5C2 » et « 5C2m » ne sont pas identiques.

Déterminer le nombre de séquences possibles.
Déterminer le nombre de séquences si l'on impose que les 4 caractères sont différents deux à deux.
1. Déterminer le nombre de séquences ne comportant pas de lettre A majuscule
2. En déduire le nombre de séquences comportant au moins une lettre A majuscule.
3. Déterminer le nombre de séquences comportant exactement une fois la lettre A majuscule.
4. Déterminer le nombre de séquences comportant exactement deux fois la lettre A majuscule.

Partie B

On s'intéresse à la transmission d'une séquence de 250 caractères d'un ordinateur à un autre. On suppose que la probabilité qu'un caractère soit mal transmis est égale à 0,01 et que les transmissions des différents caractères sont indépendantes entre elles. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de caractères mal transmis.

On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale. Donner ses paramètres.
Déterminer la probabilité que tous les caractères soient bien transmis. On donnera l'expression exacte, puis une valeur approchée à $10^{-3}$ près.
Que pensez-vous de l'affirmation suivante: « La probabilité que plus de 16 caractères soient mal transmis est négligeable » ?

Partie C

On s'intéresse maintenant à la transmission de 4 séquences de 250 caractères.

On note $X_1,\, X_2,\, X_3$   et $X_4$ les variables aléatoires correspondant aux nombres de caractères mal transmis lors de la transmission de chacune des 4 séquences.

On admet que les variables aléatoires $X_1,\, X_2,\, X_3$   et $X_4$ sont indépendantes entre elles et suivent la même loi que la variable aléatoire $X$ définie en partie B.

On note $S = X_1 + X_2 + X_3 + X_4.$

Déterminer, en justifiant, l'espérance et la variance de la variable aléatoire $S$ .

Voir le corrigé

Partie A

Question 1.

Une séquence est une liste ordonnée de 4 caractères choisis parmi 64, avec répétition possible.

Pour chacune des 4 positions, il y a 64 choix indépendants.

Donc le nombre de séquences est

64^4 = 16\,777\,216.

Réponse : $64^4 = 16\,777\,216$ séquences.

Question 2.

On impose que les 4 caractères soient différents deux à deux.

Il y a 64 choix pour le premier caractère, puis 63 pour le deuxième, 62 pour le troisième et 61 pour le quatrième.

Donc le nombre de séquences est

64 \times 63 \times 62 \times 61 = 15\,249\,024.

Réponse : $15\,249\,024$ séquences.

Question 3.

a) Une séquence ne comportant pas la lettre A majuscule est formée de 4 caractères choisis parmi les $64 - 1 = 63$ autres caractères, avec répétition possible.

Donc le nombre de séquences est

63^4 = 15\,752\,961.

Réponse : $15\,752\,961$ séquences.

b) Les séquences comportant au moins une lettre A majuscule sont les séquences qui ne sont pas dans le cas précédent.

Donc leur nombre est

64^4 - 63^4 = 16\,777\,216 - 15\,752\,961 = 1\,024\,255.

Réponse : $1\,024\,255$ séquences.

c) On choisit la position du A dans la séquence : $4$ possibilités.

Les 3 autres positions sont occupées par des caractères différents de A, choisis parmi 63 avec répétition possible : $63^3$ possibilités.

Donc le nombre de séquences comportant exactement une fois la lettre A est

4 \times 63^3 = 4 \times 250\,047 = 1\,000\,188.

Réponse : $1\,000\,188$ séquences.

d) On choisit les positions des deux A : $\binom{4}{2} = 6$ possibilités.

Les 2 autres positions sont occupées par des caractères différents de A : $63^2$ possibilités.

Donc le nombre de séquences comportant exactement deux fois la lettre A est

\binom{4}{2} \times 63^2 = 6 \times 3\,969 = 23\,814.

Réponse : $23\,814$ séquences.

Partie B

Question 1.

La transmission d'un caractère est une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès $p = 0{,}01$ , le succès étant « le caractère est mal transmis ».

On répète 250 fois cette épreuve, de manière identique, et les transmissions sont indépendantes (énoncé).

$X$ compte le nombre de succès : $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 250$ et $p = 0{,}01$ .

Réponse : $X \sim \mathcal{B}(250\;;\;0{,}01)$ .

Question 2.

Tous les caractères sont bien transmis si et seulement si $X = 0$ .

D'après la formule de la loi binomiale :

P(X = 0) = \binom{250}{0} \times 0{,}01^{0} \times (1 - 0{,}01)^{250} = 0{,}99^{250}.

À la calculatrice, $0{,}99^{250} \approx 0{,}081$ (arrondi à $10^{-3}$ ).

Donc la probabilité que tous les caractères soient bien transmis est $0{,}99^{250} \approx 0{,}081$ .

Réponse : $P(X = 0) = 0{,}99^{250} \approx 0{,}081$ .

Question 3.

On calcule

P(X > 16) = 1 - P(X \leqslant 16).

À la calculatrice (loi binomiale de paramètres $250$ et $0{,}01$ ), $P(X > 16) \approx 1{,}0 \times 10^{-9}$ .

Cette probabilité est inférieure à $10^{-8}$ : elle est quasi nulle.

Donc l'affirmation est exacte : la probabilité que plus de 16 caractères soient mal transmis est négligeable.

Réponse : affirmation exacte ( $P(X > 16) \approx 1{,}0 \times 10^{-9}$ ).

Partie C

Les variables $X_1$ , $X_2$ , $X_3$ , $X_4$ suivent la même loi que $X$ , donc, pour tout $i$ :

E(X_i) = np = 250 \times 0{,}01 = 2{,}5 \qquad \text{et} \qquad V(X_i) = np(1-p) = 250 \times 0{,}01 \times 0{,}99 = 2{,}475.

Espérance. L'espérance est linéaire : l'espérance d'une somme est la somme des espérances.

E(S) = E(X_1) + E(X_2) + E(X_3) + E(X_4) = 4 \times 2{,}5 = 10.

Variance. Les variables $X_1$ , $X_2$ , $X_3$ , $X_4$ sont indépendantes : la variance de la somme est la somme des variances.

V(S) = V(X_1) + V(X_2) + V(X_3) + V(X_4) = 4 \times 2{,}475 = 9{,}9.

Donc $E(S) = 10$ et $V(S) = 9{,}9$ .

Réponse : $E(S) = 10$ et $V(S) = 9{,}9$ .

Points clés attendus

Distinguer les dénombrements avec répétition ( $64^4$ ) et sans répétition (arrangements $64 \times 63 \times 62 \times 61$ ).
Passage par le complémentaire pour « au moins un A », puis choix des positions avant les autres caractères.
Loi binomiale : épreuve de Bernoulli, répétition identique et indépendante, paramètres $n = 250$ et $p = 0{,}01$ (le succès est le mauvais transfert).
Valeur approchée de $P(X > 16)$ à la calculatrice, puis conclusion sur l'affirmation.
Variance d'une somme : l'indépendance des $X_i$ est à citer, l'espérance se somme par linéarité.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.

Comment t'entraîner

Chronomètre-toi, rédige sur papier comme le jour du bac, puis seulement après regarde le cours. Si tu bloques sur une question, écris « on admet que… » et passe à la suivante.

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Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2025 (Centres étrangers, 13 juin 2025 (jour 2)), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (Denis Vergès et François Hache) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

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