Bac 2025, Nouvelle-Calédonie : exercice 3

Question 1.

Pour tout réel $x$, on a $\mathrm{e}^{x/2}+2>0$, donc la fonction $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}$. Elle est dérivable sur $\mathbb{R}$ (admis par l'énoncé).

On écrit $f=\ln(w)$ avec $w(x)=\mathrm{e}^{x/2}+2$, dérivable et strictement positive. La dérivée d'une composée donne $f'=\dfrac{w'}{w}$, avec $w'(x)=\dfrac12\,\mathrm{e}^{x/2}$. Donc, pour tout réel $x$,

Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{x/2}>0$, donc le numérateur est strictement positif. Le dénominateur est aussi strictement positif. Donc $f'(x)>0$ pour tout réel $x$.

Donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Question 2.

On a $\dfrac{2\ln2}{2}=\ln2$, donc $\mathrm{e}^{\frac{2\ln2}{2}}=\mathrm{e}^{\ln2}=2$.

Donc

Donc $f(2\ln2)=2\ln2$.

Question 3.

On a $u_0=\ln9$, donc $\dfrac{u_0}{2}=\dfrac{\ln9}{2}=\dfrac{2\ln3}{2}=\ln3$. Ainsi $\mathrm{e}^{u_0/2}=3$.

Donc

Donc $u_1=\ln5$.

Question 4.

Pour tout entier naturel $n$, on note $\mathcal{P}(n)$ la propriété

Initialisation. On a $2\ln2=\ln4$, $u_1=\ln5$ et $u_0=\ln9$.

Comme $4\leqslant5\leqslant9$ et que la fonction $\ln$ est croissante sur $]0\,;+\infty[$, on obtient $\ln4\leqslant\ln5\leqslant\ln9$, c'est-à-dire $2\ln2\leqslant u_1\leqslant u_0$. Donc $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $\mathcal{P}(k)$ soit vraie, c'est-à-dire

Montrons $\mathcal{P}(k+1)$ : $2\ln2\leqslant u_{k+2}\leqslant u_{k+1}$.

La fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ (question 1), donc elle conserve l'ordre. En l'appliquant à chaque membre de l'hypothèse de récurrence :

D'après la question 2, $f(2\ln2)=2\ln2$. Par définition de la suite, $f(u_{k+1})=u_{k+2}$ et $f(u_k)=u_{k+1}$. On obtient

Donc $\mathcal{P}(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $\mathcal{P}(0)$ est vraie et $\mathcal{P}$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$,

Question 5.

D'après la question 4, pour tout entier naturel $n$ :

• $u_{n+1}\leqslant u_n$, donc la suite $(u_n)$ est décroissante

• $u_{n+1}\geqslant2\ln2$, donc la suite est minorée (à partir du rang 1) par $2\ln2$, et on a aussi $u_0=\ln9>2\ln2$, donc elle est minorée par $2\ln2$ dès le rang 0.

D'après le théorème de convergence monotone (toute suite décroissante et minorée converge), la suite $(u_n)$ converge.

Donc la suite $(u_n)$ est convergente.

Question 6. a)

L'équation $X^2-X-2=0$ est du second degré. Son discriminant est

Elle admet donc deux solutions réelles :

Donc l'ensemble des solutions est $\{-1\,;2\}$.

Question 6. b)

Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^x=\left(\mathrm{e}^{x/2}\right)^2$. On pose $X=\mathrm{e}^{x/2}$, avec $X>0$. L'équation $\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{x/2}-2=0$ s'écrit alors

D'après la question précédente, $X=-1$ ou $X=2$. Or $X=\mathrm{e}^{x/2}>0$, donc $X=-1$ est impossible. Il reste $X=2$, c'est-à-dire

Donc l'ensemble des solutions de l'équation $\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{x/2}-2=0$ est $\{2\ln2\}$.

Question 6. c)

Pour tout réel $x$, comme les fonctions $\ln$ et $\exp$ sont réciproques l'une de l'autre :

D'après la question 6. b), l'ensemble des solutions de l'équation $f(x)=x$ est $\{2\ln2\}$.

Question 6. d)

D'après la question 5, la suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$.

La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, donc continue sur $\mathbb{R}$. Comme $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n$, on passe à la limite : $(u_{n+1})$ tend vers $\ell$ et $f(u_n)$ tend vers $f(\ell)$ par continuité de $f$. Donc $\ell=f(\ell)$.

D'après la question 6. c), la seule solution de cette équation est $2\ln2$. Donc $\ell=2\ln2$.

Donc $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=2\ln2$.

Réponse : $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=2\ln2$ ($=\ln4\approx1{,}386$).

Points clés attendus

• Question 1 : dérivée de $\ln(w)$, signe justifié par $\mathrm{e}^{x/2}>0$.

• Récurrence : initialisation, hypothèse écrite, utilisation de la croissance de $f$ et de $f(2\ln2)=2\ln2$, conclusion.

• Convergence : citer le théorème de convergence monotone (suite décroissante et minorée).

• Équation : changement de variable $X=\mathrm{e}^{x/2}$ et élimination de la solution négative car $X>0$.

• Limite : continuité de $f$, puis $\ell=f(\ell)$, puis résolution.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.