Bac 2025, Nouvelle-Calédonie : exercice 4

Question 1.

Limite en $0$. On a $\displaystyle\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to0^+}\dfrac1{x^2}=+\infty$. Par produit,

Limite en $+\infty$. D'après le théorème des croissances comparées, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^2}=0$. Donc

Asymptotes.

• Comme $\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty$, la droite d'équation $x=0$ (l'axe des ordonnées) est asymptote verticale à $\mathcal{C}_f$.

• Comme $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=1$, la droite d'équation $y=1$ est asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$.

Réponse : $\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=1$   asymptotes : $x=0$ et $y=1$.

Question 2.

La fonction $f$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$. On écrit $\dfrac{\ln x}{x^2}=\dfrac uv$ avec $u(x)=\ln x$ et $v(x)=x^2$, donc $u'(x)=\dfrac1x$ et $v'(x)=2x$. La constante $1$ a une dérivée nulle.

D'après la formule $\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$, pour tout $x>0$ :

Donc, pour tout $x\in\,]0\,;+\infty[$, $f'(x)=\dfrac{1-2\ln x}{x^3}$.

Question 3.

Pour $x>0$, on a $x^3>0$, donc $f'(x)$ a le signe de $1-2\ln x$.

On résout :

car la fonction exponentielle est strictement croissante. De même, $f'(x)=0$ si et seulement si $x=\sqrt{\mathrm{e}}$.

Valeur au point critique :

Tableau de variations, décrit en phrases :

• sur $]0\,;\sqrt{\mathrm{e}}]$, $f'>0$ (sauf en $\sqrt{\mathrm{e}}$) : $f$ est strictement croissante, de la limite $-\infty$ en $0$ jusqu'au maximum $1+\dfrac1{2\mathrm{e}}$ atteint en $\sqrt{\mathrm{e}}$

• sur $[\sqrt{\mathrm{e}}\,;+\infty[$, $f'<0$ (sauf en $\sqrt{\mathrm{e}}$) : $f$ est strictement décroissante, de ce maximum jusqu'à la limite $1$ en $+\infty$.

Question 4. a)

Sur $]0\,;\sqrt{\mathrm{e}}]$. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante. Elle prend ses valeurs dans $]-\infty\,;1+\dfrac1{2\mathrm{e}}]$ (limite $-\infty$ en $0$, valeur $1+\dfrac1{2\mathrm{e}}$ en $\sqrt{\mathrm{e}}$). Le réel $0$ appartient à cet intervalle, car $1+\dfrac1{2\mathrm{e}}>0$.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires (corollaire pour une fonction continue et strictement monotone), l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $]0\,;\sqrt{\mathrm{e}}]$. On la note $\alpha$. Comme $f\left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)>0$, on a $\alpha<\sqrt{\mathrm{e}}$.

Sur $[\sqrt{\mathrm{e}}\,;+\infty[$. La fonction $f$ est strictement décroissante, de $1+\dfrac1{2\mathrm{e}}$ vers $1$. Donc pour tout $x\geqslant\sqrt{\mathrm{e}}$, $f(x)>1>0$. L'équation $f(x)=0$ n'a pas de solution sur cet intervalle.

Donc l'équation $f(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur $]0\,;+\infty[$.

Question 4. b)

À la calculatrice :

La fonction $f$ est strictement croissante sur $]0\,;\sqrt{\mathrm{e}}]$ et $f(0{,}65)<f(\alpha)=0<f(0{,}66)$, donc $0{,}65<\alpha<0{,}66$.

Donc $0{,}65<\alpha<0{,}66$ (une valeur approchée est $\alpha\approx0{,}653$).

Réponse : $0{,}65<\alpha<0{,}66$.

Question 4. c)

D'après les questions 3 et 4. a) :

• sur $]0\,;\alpha[$, $f$ est strictement croissante sur $]0\,;\sqrt{\mathrm{e}}]$ et $f(\alpha)=0$, donc $f(x)<0$

• sur $]\alpha\,;\sqrt{\mathrm{e}}]$, de même $f(x)>0$

• sur $[\sqrt{\mathrm{e}}\,;+\infty[$, $f(x)>1>0$.

Donc $f(x)<0$ pour $x\in\,]0\,;\alpha[$, $f(\alpha)=0$, et $f(x)>0$ pour $x\in\,]\alpha\,;+\infty[$.

Question 5. a)

Le point M a pour coordonnées $(x\,;\ln x)$ et O pour coordonnées $(0\,;0)$ dans un repère orthonormé. Donc

Question 5. b)

On pose $h(x)=\mathrm{OM}^2=x^2+(\ln x)^2$ pour $x>0$. La fonction $h$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ et, avec $\left(w^2\right)'=2w'w$ pour $w=\ln$ :

Or $f(x)=\dfrac{\ln x}{x^2}+1=\dfrac{\ln x+x^2}{x^2}$, donc $x^2+\ln x=x^2f(x)$. D'où

Comme $x>0$, $h'(x)$ a le signe de $f(x)$. D'après la question 4. c) :

• $h'(x)<0$ sur $]0\,;\alpha[$ : $h$ est strictement décroissante

• $h'(\alpha)=0$

• $h'(x)>0$ sur $]\alpha\,;+\infty[$ : $h$ est strictement croissante.

Donc $h$ admet un minimum en $\alpha$ : la quantité $\mathrm{OM}^2$ admet un minimum atteint pour $x=\alpha$.

Question 5. c)

La distance $\mathrm{OM}$ est la racine carrée de $\mathrm{OM}^2$, et la fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$. Le minimum de $\mathrm{OM}$ est donc atteint lui aussi pour $x=\alpha$, et

Comme $f(\alpha)=0$, on a $\dfrac{\ln\alpha}{\alpha^2}+1=0$, donc $\ln\alpha=-\alpha^2$. Ainsi $(\ln\alpha)^2=\alpha^4$ et

car $\alpha>0$.

Donc $d=\alpha\sqrt{1+\alpha^2}\approx0{,}78$.

Réponse : $d=\alpha\sqrt{1+\alpha^2}\approx0{,}78$.

Points clés attendus

• Limites : produit pour la limite en $0$, croissances comparées en $+\infty$, et interprétation en asymptotes.

• Dérivée : formule du quotient détaillée, signe justifié par $x^3>0$.

• Théorème des valeurs intermédiaires avec continuité, stricte monotonie et signes aux bornes   étudier aussi l'autre intervalle pour l'unicité.

• Lien entre $h'(x)$ et $f(x)$ pour déduire le minimum de $\mathrm{OM}^2$ en $\alpha$.

• Utiliser $f(\alpha)=0$, soit $\ln\alpha=-\alpha^2$, pour exprimer $d$ à l'aide de $\alpha$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.