Terminale Spé Maths / Chapitre 12 : Succession d'épreuves et loi binomiale / Annales du bac

Bac 2024, Métropole : exercice 1

20 juin 2024 · jour 2 · 5 points

La directrice d'une école souhaite réaliser une étude auprès des étudiants qui ont passé l'examen de fin d'étude, pour analyser la façon dont ils pensent avoir réussi cet examen.

Pour cette étude, on demande aux étudiants à l'issue de l'examen de répondre individuellement à la question : « Pensez-vous avoir réussi l'examen ? ». Seules les réponses « oui » ou « non » sont possibles, et on observe que $91,7\,\%$ des étudiants interrogés ont répondu « oui ».

Suite à la publication des résultats à l'examen, on découvre que :

65 % des étudiants ayant échoué ont répondu « non »
98 % des étudiants ayant réussi ont répondu « oui ».

On interroge au hasard un étudiant qui a passé l'examen.

On note $R$ l'évènement « l'étudiant a réussi l'examen » et $Q$ l'évènement « l'étudiant a répondu « oui » à la question ».

Pour un évènement $A$ quelconque, on note $P(A)$ sa probabilité et $\overline{A}$ son évènement contraire.

Dans tout l'exercice, les probabilités sont, si besoin, arrondies à $10^{-3}$ près.

Préciser les valeurs des probabilités $P(Q)$ et $P_{\overline{R}}\left(\overline{Q}\right)$ .
On note $x$ la probabilité que l'étudiant interrogé ait réussi l'examen.
1. Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-contre.
2. Montrer que $x = 0,9$ .
L'étudiant interrogé a répondu « oui » à la question.

Quelle est la probabilité qu'il ait réussi l'examen ?

Figure de l'énoncé, exercice 1, Métropole 20 juin 2024

La note obtenue par un étudiant interrogé au hasard est un nombre entier entre 0 et 20. On suppose qu'elle est modélisée par une variable aléatoire $N$ qui suit la loi binomiale de paramètres $(20\;;\;0,615)$ .

La directrice souhaite attribuer une récompense aux étudiants ayant obtenu les meilleurs résultats.

À partir de quelle note doit-elle attribuer les récompenses pour que 65 % des étudiants soient récompensés ?
On interroge au hasard dix étudiants.

Les variables aléatoires $N_1,\,N_2,\, \ldots ,\, N_{10}$ modélisent la note sur 20 obtenue à l'examen par chacun d'entre eux. On admet que ces variables sont indépendantes et suivent la même loi binomiale de paramètres $(20\;;\;0,615)$ .

Soit $S$ la variable définie par $S = N_1 + N_2 + \ldots + N_{10}$ .

Calculer l'espérance $E(S)$ et la variance $V(S)$ de la variable aléatoire $S$ .
On considère la variable aléatoire $M = \dfrac{S}{10}$ .
1. Que modélise cette variable aléatoire $M$ dans le contexte de l'exercice ?
2. Justifier que $E(M) =12,3$ et $V(M) = 0,47355$ .
3. À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, justifier l'affirmation ci-dessous.
  
  « La probabilité que la moyenne des notes de dix étudiants pris au hasard soit strictement comprise entre $10,3$ et $14,3$ est d'au moins $80\,\%$ ».

Voir le corrigé

Question 1.

D'après l'énoncé, $91{,}7\,\%$ des étudiants interrogés ont répondu « oui » : $P(Q)=0{,}917$ .

De plus, $65\,\%$ des étudiants ayant échoué ont répondu « non » : $P_{\overline{R}}\left(\overline{Q}\right)=0{,}65$ .

Réponse : $P(Q)=0{,}917$ et $P_{\overline{R}}\left(\overline{Q}\right)=0{,}65$ .

Question 2.

a) On traduit les données en probabilités.

On a $P(R)=x$ , donc $P\left(\overline{R}\right)=1-x$ .

$98\,\%$ des étudiants ayant réussi ont répondu « oui » : $P_R(Q)=0{,}98$ , donc $P_R\left(\overline{Q}\right)=1-0{,}98=0{,}02$ .

$65\,\%$ des étudiants ayant échoué ont répondu « non » : $P_{\overline{R}}\left(\overline{Q}\right)=0{,}65$ , donc $P_{\overline{R}}(Q)=1-0{,}65=0{,}35$ .

L'arbre pondéré est donc le suivant :

branches issues de la racine : $R$ avec la probabilité $x$ , et $\overline{R}$ avec la probabilité $1-x$
branches issues de $R$ : $Q$ avec la probabilité $0{,}98$ , et $\overline{Q}$ avec la probabilité $0{,}02$
branches issues de $\overline{R}$ : $Q$ avec la probabilité $0{,}35$ , et $\overline{Q}$ avec la probabilité $0{,}65$ .

b) Les évènements $R$ et $\overline{R}$ forment une partition de l'univers (de probabilités non nulles pour $x\in]0\;;\;1[$ ).

D'après la formule des probabilités totales :

P(Q)=P(R\cap Q)+P\left(\overline{R}\cap Q\right)=P(R)\times P_R(Q)+P\left(\overline{R}\right)\times P_{\overline{R}}(Q).

On remplace par les valeurs de l'arbre :

P(Q)=0{,}98x+0{,}35(1-x)=0{,}98x+0{,}35-0{,}35x=0{,}63x+0{,}35.

Or $P(Q)=0{,}917$ , donc

0{,}63x+0{,}35=0{,}917\iff0{,}63x=0{,}567\iff x=\dfrac{0{,}567}{0{,}63}=0{,}9.

Donc la probabilité que l'étudiant interrogé ait réussi l'examen est $x=0{,}9$ .

Question 3.

On cherche la probabilité que l'étudiant ait réussi sachant qu'il a répondu « oui », c'est-à-dire $P_Q(R)$ .

Par définition de la probabilité conditionnelle (avec $P(Q)=0{,}917\neq0$ ) :

P_Q(R)=\dfrac{P(R\cap Q)}{P(Q)}.

On a $P(R\cap Q)=P(R)\times P_R(Q)=0{,}9\times0{,}98=0{,}882$ .

D'où

P_Q(R)=\dfrac{0{,}882}{0{,}917}\approx0{,}962.

Donc, sachant que l'étudiant a répondu « oui », la probabilité qu'il ait réussi l'examen est environ $0{,}962$ (arrondie au millième).

Réponse : $P_Q(R)=\dfrac{0{,}882}{0{,}917}\approx0{,}962$ .

Question 4.

La note $N$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(20\;;\;0{,}615)$ .

Si l'on récompense les étudiants dont la note est au moins égale à $k$ , la proportion d'étudiants récompensés est $P(N\geqslant k)$ .

On cherche la note $k$ à partir de laquelle on récompense au moins $65\,\%$ des étudiants sans en récompenser inutilement davantage : c'est la plus grande valeur de $k$ telle que $P(N\geqslant k)\geqslant0{,}65$ .

À la calculatrice, on obtient :

P(N\geqslant10)\approx0{,}900,\quad P(N\geqslant11)\approx0{,}797,\quad P(N\geqslant12)\approx0{,}649,\quad P(N\geqslant13)\approx0{,}471.

La fonction $k\mapsto P(N\geqslant k)$ est décroissante.

On a $P(N\geqslant11)\approx0{,}797\geqslant0{,}65$ , alors que $P(N\geqslant12)\approx0{,}649<0{,}65$ .

Donc la directrice doit attribuer les récompenses à partir de la note $11$ sur $20$ : elle récompense alors environ $79{,}7\,\%$ des étudiants, alors qu'à partir de $12$ , un peu moins de $65\,\%$ seraient récompensés.

Réponse : à partir de la note $11$ .

Question 5.

Pour une variable $N_i$ suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(20\;;\;0{,}615)$ :

E(N_i)=np=20\times0{,}615=12{,}3,\qquad V(N_i)=np(1-p)=20\times0{,}615\times0{,}385=4{,}7355.

Par linéarité de l'espérance :

E(S)=E(N_1)+\cdots+E(N_{10})=10\times12{,}3=123.

Les variables $N_1,\ldots,N_{10}$ sont indépendantes, donc la variance de leur somme est la somme de leurs variances :

V(S)=V(N_1)+\cdots+V(N_{10})=10\times4{,}7355=47{,}355.

Donc $E(S)=123$ et $V(S)=47{,}355$ .

Réponse : $E(S)=123$ et $V(S)=47{,}355$ .

Question 6.

a) $S$ est la somme des notes des dix étudiants interrogés, donc $M=\dfrac{S}{10}$ modélise la moyenne des notes obtenues par ces dix étudiants.

b) Par linéarité de l'espérance :

E(M)=\dfrac{E(S)}{10}=\dfrac{123}{10}=12{,}3.

Avec la propriété $V(aS)=a^2V(S)$ où $a=\dfrac1{10}$ :

V(M)=\dfrac{V(S)}{10^2}=\dfrac{47{,}355}{100}=0{,}47355.

Donc $E(M)=12{,}3$ et $V(M)=0{,}47355$ .

c) On a les équivalences :

10{,}3<M<14{,}3\iff10{,}3-12{,}3<M-12{,}3<14{,}3-12{,}3\iff-2<M-12{,}3<2\iff|M-E(M)|<2.

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'applique à $M$ (qui admet une espérance et une variance) avec $\delta=2>0$ :

P\left(|M-E(M)|\geqslant2\right)\leqslant\dfrac{V(M)}{2^2}=\dfrac{0{,}47355}{4}\approx0{,}1184.

Par passage à l'évènement contraire :

P(10{,}3<M<14{,}3)=1-P\left(|M-E(M)|\geqslant2\right)\geqslant1-0{,}11839\ldots\approx0{,}8816.

Or $0{,}8816\geqslant0{,}8$ .

Donc la probabilité que la moyenne des notes de dix étudiants pris au hasard soit strictement comprise entre $10{,}3$ et $14{,}3$ est d'au moins $80\,\%$ .

Points clés attendus

Traduire chaque donnée en probabilité (conditionnelle ou non) et compléter l'arbre avec les évènements contraires.
Citer la formule des probabilités totales avec la partition $\{R\;;\;\overline{R}\}$ , puis résoudre l'équation en $x$ .
Pour la question 3, reconnaître $P_Q(R)$ et écrire $\dfrac{P(R\cap Q)}{P(Q)}$ .
Pour la question 4, interpréter « à partir de la note $k$ » par $P(N\geqslant k)$ et comparer avec $0{,}65$ à l'aide de la calculatrice.
Distinguer linéarité de l'espérance et additivité de la variance (qui exige l'indépendance).
Citer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $E(M)$ , $V(M)$ et $\delta=2$ .

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.

Comment t'entraîner

Chronomètre-toi, rédige sur papier comme le jour du bac, puis seulement après regarde le cours. Si tu bloques sur une question, écris « on admet que… » et passe à la suivante.

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Revoir le cours

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Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2024 (Métropole, 20 juin 2024 (jour 2)), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (Denis Vergès et François Hache) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

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