Bac 2024, Métropole : exercice 2

Partie A

Question 1.

On convertit les unités : $15\ \text{g}=15\times1\,000\ \text{mg}=15\,000\ \text{mg}$ et $50\ \text{m}^3=50\times1\,000\ \text{L}=50\,000\ \text{L}$.

Le taux de chlore est la masse de chlore par unité de volume d'eau. L'ajout de $15\ \text{g}$ dans $50\ \text{m}^3$ d'eau (mélange uniforme) fait donc augmenter le taux de

Donc cet ajout quotidien fait augmenter le taux de chlore de $0{,}3\ \text{mg.L}^{-1}$.

Question 2.

a) On note $P(n)$ la propriété : $v_n\leqslant v_{n+1}\leqslant4$.

Initialisation. On a $v_0=0{,}7$ et $v_1=0{,}92\times0{,}7+0{,}3=0{,}944$.

Donc $v_0\leqslant v_1\leqslant4$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire $v_k\leqslant v_{k+1}\leqslant4$ (hypothèse de récurrence). Montrons $P(k+1)$, c'est-à-dire $v_{k+1}\leqslant v_{k+2}\leqslant4$.

La fonction $g:x\mapsto0{,}92x+0{,}3$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ (fonction affine de coefficient directeur $0{,}92>0$) : on l'applique à chaque membre de l'hypothèse de récurrence en conservant le sens des inégalités :

On reconnaît $v_{k+1}=0{,}92v_k+0{,}3$ et $v_{k+2}=0{,}92v_{k+1}+0{,}3$, et $0{,}92\times4+0{,}3=3{,}98$. D'où

Comme $3{,}98\leqslant4$, on obtient $v_{k+1}\leqslant v_{k+2}\leqslant4$ : $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, $v_n\leqslant v_{n+1}\leqslant4$.

b) D'après la question a), pour tout $n$, $v_n\leqslant v_{n+1}$ : la suite $(v_n)$ est croissante. De plus $v_{n}\leqslant4$ pour tout $n$ (car $v_n\leqslant v_{n+1}\leqslant4$) : elle est majorée par $4$.

D'après le théorème de la limite monotone (toute suite croissante et majorée converge), la suite $(v_n)$ converge vers un réel $\ell$.

On a alors $\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=\lim\limits_{n\to+\infty}v_{n+1}=\ell$. La fonction $g:x\mapsto0{,}92x+0{,}3$ est continue sur $\mathbb{R}$ et $v_{n+1}=g(v_n)$, donc $\ell=g(\ell)$ :

Donc la suite $(v_n)$ converge et sa limite est $3{,}75$.

Réponse : $\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=3{,}75$.

Question 3.

D'après la question 2. b), à long terme le taux de chlore se rapproche de $3{,}75\ \text{mg.L}^{-1}$.

Or les piscinistes préconisent un taux compris entre $1$ et $3\ \text{mg.L}^{-1}$, et $3{,}75>3$.

Donc, à long terme, le taux de chlore ne sera pas conforme à la préconisation des piscinistes.

Question 4.

La boucle while doit continuer tant que le seuil n'est pas dépassé, c'est-à-dire tant que $v\leqslant s$. À chaque passage, on passe au jour suivant ($n$ augmente de $1$) et on calcule le terme suivant avec la relation $v_{n+1}=0{,}92v_n+0{,}3$.

def alerte_chlore(s):
    n = 0
    v = 0.7
    while v <= s:
        n = n + 1
        v = 0.92*v + 0.3
    return n

À la sortie de la boucle, on a $v>s$. La suite $(v_n)$ étant croissante, la fonction renvoie le plus petit entier $n$ tel que $v_n>s$ (il existe lorsque $s<3{,}75$, limite de la suite).

Question 5.

On calcule les termes de la suite avec la relation de récurrence :

La suite étant croissante, $v_n\leqslant3$ pour $n\leqslant16$ et $v_n>3$ pour $n\geqslant17$.

Donc l'instruction alerte_chlore(3) renvoie $17$.

Interprétation : c'est $17$ jours après le mercredi 19 juin, soit le samedi 6 juillet, que le taux de chlore dépasse pour la première fois $3\ \text{mg.L}^{-1}$, valeur maximale préconisée par les piscinistes.

Réponse : alerte_chlore(3) renvoie $17$.

Partie B

Question 1.

(L'énoncé comporte une coquille d'écriture : la forme attendue est $f(x)=C\mathrm{e}^{-0{,}08x}+\dfrac q4$.)

L'équation différentielle $(E)$ s'écrit $y'=ay+b$ avec $a=-0{,}08\neq0$ et $b=\dfrac{q}{50}$.

Les solutions d'une équation $y'=ay+b$ ($a\neq0$) sont les fonctions $x\mapsto C\mathrm{e}^{ax}-\dfrac ba$, où $C$ est une constante réelle.

On calcule

Donc $f$, solution de $(E)$, est de la forme $f(x)=C\mathrm{e}^{-0{,}08x}+\dfrac q4$, avec $C$ constante réelle.

Question 2.

a) On a $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(-0{,}08x\right)=-\infty$ et $\lim\limits_{X\to-\infty}\mathrm{e}^{X}=0$, donc par composition $\lim\limits_{x\to+\infty}\mathrm{e}^{-0{,}08x}=0$.

Donc $\lim\limits_{x\to+\infty}C\mathrm{e}^{-0{,}08x}=0$ et, par somme,

Réponse : $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\dfrac q4$.

b) Le taux de chlore doit se stabiliser autour de $2\ \text{mg.L}^{-1}$ : on veut $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=2$, c'est-à-dire $\dfrac q4=2$, donc $q=8$.

Le taux observé le mercredi 19 juin ($x=0$) est $0{,}7\ \text{mg.L}^{-1}$ : on veut $f(0)=0{,}7$.

Avec $q=8$, $f(0)=C\mathrm{e}^{0}+\dfrac84=C+2$. Donc $C+2=0{,}7$, soit $C=-1{,}3$.

Donc $q=8$ (grammes de chlore ajoutés chaque jour) et $C=-1{,}3$, soit $f(x)=-1{,}3\,\mathrm{e}^{-0{,}08x}+2$.

Réponse : $q=8$ et $C=-1{,}3$.

Points clés attendus

• Convertir les grammes en milligrammes et les mètres cubes en litres avant de calculer le taux.

• Rédiger la récurrence complète en citant la croissance de la fonction affine, avec $0{,}92\times4+0{,}3=3{,}98\leqslant4$.

• Citer le théorème de la limite monotone, puis passer à la limite dans $v_{n+1}=0{,}92v_n+0{,}3$ en justifiant la continuité de la fonction.

• Comparer la limite $3{,}75$ à l'intervalle $[1\;;\;3]$ pour conclure sur la conformité.

• Compléter le script (condition v <= s, mises à jour de n et v) et interpréter $17$ comme un nombre de jours après le 19 juin.

• Pour l'équation différentielle, utiliser la forme générale des solutions de $y'=ay+b$, puis traduire les deux conditions (limite et valeur initiale).

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.