Bac 2024, Métropole : exercice 1

Partie A

Question 1. a)

Les données de l'énoncé se traduisent ainsi :

• $P(R)=0{,}6$ (60 % des clients sont réguliers)

• $P_R(F)=0{,}47$ (parmi les clients réguliers, 47 % ont acheté la carte)

• $P(F)=0{,}38$ (parmi tous les clients, 38 % ont acheté la carte).

Les évènements $R$ et $\overline{R}$ sont contraires, donc

Les évènements $F$ et $\overline{F}$ sont contraires, donc

Pondérations de l'arbre :

• branche $R$ : $0{,}6$, puis $R\to F$ : $0{,}47$ et $R\to\overline{F}$ : $0{,}53$

• branche $\overline{R}$ : $0{,}4$, puis $\overline{R}\to F$ : $P_{\overline{R}}(F)$ et $\overline{R}\to\overline{F}$ : $P_{\overline{R}}(\overline{F})$, valeurs déterminées à la question c) : $0{,}245$ et $0{,}755$.

Question 1. b)

On cherche $P(R\cap F)$. D'après la définition de la probabilité conditionnelle,

Donc la probabilité que le client interrogé soit un client régulier et qu'il ait acheté la carte de fidélité est $0{,}282$.

Réponse : $P(R\cap F)=0{,}282$.

Question 1. c)

Les évènements $R$ et $\overline{R}$ forment une partition de l'univers (ils sont incompatibles et leur réunion est l'univers entier).

D'après la formule des probabilités totales,

On en déduit

Comme $P(\overline{R})=0{,}4\neq 0$, la probabilité conditionnelle de $F$ sachant $\overline{R}$ est

Par évènement contraire, $P_{\overline{R}}(\overline{F})=1-0{,}245=0{,}755$.

Donc la probabilité que le client ait acheté la carte de fidélité sachant que ce n'est pas un client régulier est $0{,}245$.

Réponse : $P_{\overline{R}}(F)=0{,}245$.

Question 1. d)

Il s'agit de comparer $P_F(R)$ à $0{,}8$. Comme $P(F)=0{,}38\neq 0$,

On a $0{,}742<0{,}8$ : parmi les clients ayant acheté la carte de fidélité, environ $74{,}2\,\%$ seulement sont des clients réguliers.

Donc l'affirmation du directeur du service des ventes est inexacte.

Réponse : $P_F(R)=\dfrac{0{,}282}{0{,}38}\approx 0{,}742<0{,}8$ : l'affirmation est fausse.

Question 2. a)

On choisit $20$ clients de manière indépendante, assimilée à un tirage avec remise. Chaque choix est une épreuve de Bernoulli dont le succès est « le client a acheté la carte de fidélité », de probabilité $P(F)=0{,}38$.

Ces $20$ épreuves sont identiques et indépendantes. La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès.

Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0{,}38$.

Réponse : $X\sim\mathcal{B}(20\,;0{,}38)$.

Question 2. b)

On cherche $P(X\geqslant 5)$. L'évènement contraire de $X\geqslant 5$ est $X\leqslant 4$, donc

À la calculatrice, avec la loi binomiale de paramètres $20$ et $0{,}38$, on obtient $P(X\leqslant 4)\approx 0{,}0726$, d'où

Donc la probabilité qu'au moins $5$ clients aient acheté la carte de fidélité dans l'échantillon est $0{,}927$, arrondie au millième.

Réponse : $P(X\geqslant 5)\approx 0{,}927$.

Partie B

Question 1.

$X_2$ suit la loi binomiale de paramètres $n=1\,000$ et $p=0{,}47$. L'espérance d'une loi binomiale est $np$, donc

Interprétation : sur un grand nombre d'échantillons de $1\,000$ clients réguliers, le nombre moyen de clients ayant acheté la carte de fidélité est $470$.

Donc, pour un échantillon de $1\,000$ clients réguliers, on peut s'attendre en moyenne à ce que $470$ d'entre eux aient acheté la carte de fidélité.

Réponse : $E(X_2)=470$.

Question 2.

La variable $Y$ est le total des sommes offertes (bons d'achat et primes) aux $1\,000$ clients. Donc $Z=\dfrac{Y}{1\,000}$ modélise la somme moyenne offerte par client, en euros, dans l'échantillon de $1\,000$ clients réguliers.

Espérance. Par linéarité de l'espérance, avec $Y_2=50X_2$ :

Puis

Enfin

Variance. Pour une loi binomiale, $V(X_2)=np(1-p)$, donc

Comme $V(aX)=a^2V(X)$,

Les variables $Y_1$ et $Y_2$ sont indépendantes, donc la variance de leur somme est la somme des variances :

Enfin

Donc $E(Z)=53{,}5$ et $V(Z)=0{,}72275$.

Question 3.

On a $53{,}5-1{,}8=51{,}7$ et $53{,}5+1{,}8=55{,}3$. Donc, comme $E(Z)=53{,}5$, l'évènement $51{,}7<Z<55{,}3$ s'écrit aussi

La variable $Z$ admet une espérance et une variance. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée avec $\delta=1{,}8>0$ donne

Or $0{,}25\times 3{,}24=0{,}81$ et $0{,}72275<0{,}81$, donc $\dfrac{0{,}72275}{3{,}24}<0{,}25$ (en valeur approchée, $\dfrac{0{,}72275}{3{,}24}\approx 0{,}223$).

L'évènement $|Z-E(Z)|<1{,}8$ est le contraire de $|Z-E(Z)|\geqslant 1{,}8$, donc

Donc la probabilité que $Z$ soit strictement compris entre $51{,}7$ et $55{,}3$ euros est supérieure à $0{,}75$.

Points clés attendus

• Nommer la formule des probabilités totales avec la partition $\{R\,;\overline{R}\}$ pour obtenir $P(\overline{R}\cap F)$.

• Pour l'affirmation du directeur, calculer $P_F(R)$ et non $P_R(F)$ : c'est le piège de l'exercice.

• Justifier la loi binomiale : $20$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de probabilité $0{,}38$.

• Utiliser la linéarité de l'espérance, $V(aX)=a^2V(X)$ et l'indépendance de $Y_1$ et $Y_2$ pour la variance de $Y$.

• Écrire $51{,}7<Z<55{,}3$ sous la forme $|Z-E(Z)|<1{,}8$, citer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev et passer par l'évènement contraire.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.