Bac 2024, Métropole : exercice 4

Affirmation 1. Vraie.

On calcule deux vecteurs du plan, coordonnée par coordonnée :

Ces vecteurs ne sont pas colinéaires : $\overrightarrow{\text{AD}}$ a une deuxième coordonnée nulle alors que celle de $\overrightarrow{\text{AC}}$ ne l'est pas, donc il n'existe pas de réel $k$ tel que $\overrightarrow{\text{AC}}=k\overrightarrow{\text{AD}}$.

Les points A, C et D ne sont donc pas alignés : ils définissent bien un plan $\mathcal{P}$.

On pose $\vec{n}=(8\;;\;-5\;;\;4)$ et on calcule les produits scalaires :

Le vecteur $\vec{n}$, non nul, est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de $\mathcal{P}$ : c'est un vecteur normal à $\mathcal{P}$.

Une équation cartésienne de $\mathcal{P}$ est donc de la forme $8x-5y+4z+d=0$.

Le point A$(2\;;\;0\;;\;0)$ appartient à $\mathcal{P}$ : $16+d=0$, donc $d=-16$.

Vérification avec les deux autres points : pour C$(4\;;\;4\;;\;1)$, $32-20+4-16=0$   pour D$(0\;;\;0\;;\;4)$, $0-0+16-16=0$.

Donc le plan (ACD) a pour équation $8x-5y+4z-16=0$ : l'affirmation 1 est vraie.

Affirmation 2. Fausse.

Les points A, C et D définissent le plan $\mathcal{P}$ d'équation $8x-5y+4z-16=0$ (affirmation 1).

Les points A, B, C, D sont coplanaires si et seulement si B appartient à $\mathcal{P}$.

Pour B$(0\;;\;4\;;\;3)$ :

Donc B n'appartient pas à $\mathcal{P}$ : les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires. L'affirmation 2 est fausse.

Affirmation 3. Vraie.

On calcule $\overrightarrow{\text{AC}}=(2\;;\;4\;;\;1)$ et $\overrightarrow{\text{BH}}=(-1-0\;;\;1-4\;;\;2-3)=(-1\;;\;-3\;;\;-1)$.

Ces vecteurs ne sont pas colinéaires : le rapport des premières coordonnées est $\dfrac{2}{-1}=-2$, celui des deuxièmes est $\dfrac{4}{-3}\neq-2$. Les droites (AC) et (BH) ne sont donc pas parallèles.

Cherchons un point commun. Un point de (AC) s'écrit $\text{A}+s\overrightarrow{\text{AC}}$ et un point de (BH) s'écrit $\text{B}+t\overrightarrow{\text{BH}}$, avec $s,t\in\mathbb{R}$. Elles ont un point commun si et seulement si

On remplace $s=3-t$ dans la première équation :

puis $s=3-8=-5$.

On vérifie la deuxième équation : $4s=4\times(-5)=-20$ et $4-3t=4-24=-20$. Elle est bien vérifiée.

Le système admet donc la solution $(s\;;\;t)=(-5\;;\;8)$, qui donne le point de coordonnées $(2-10\;;\;-20\;;\;-5)=(-8\;;\;-20\;;\;-5)$, commun aux deux droites.

Les droites (AC) et (BH) sont non parallèles et ont un point commun : elles sont sécantes. L'affirmation 3 est vraie.

Affirmation 4. Vraie.

Le plan (ABC) a pour équation $x-y+2z-2=0$ (admis), donc pour vecteur normal $\vec{m}=(1\;;\;-1\;;\;2)$.

Pour H$(-1\;;\;1\;;\;2)$ :

Donc H appartient au plan (ABC).

On calcule $\overrightarrow{\text{DH}}=(-1-0\;;\;1-0\;;\;2-4)=(-1\;;\;1\;;\;-2)=-\vec{m}$.

Le vecteur $\overrightarrow{\text{DH}}$ est colinéaire à $\vec{m}$ : la droite (DH) est orthogonale au plan (ABC).

Le point H est le point du plan (ABC) tel que (DH) est orthogonale à ce plan : c'est le projeté orthogonal de D sur (ABC). L'affirmation 4 est vraie.

Points clés attendus

• Pour un plan défini par trois points : justifier la non-colinéarité de deux vecteurs, puis vérifier l'orthogonalité du vecteur normal avec deux vecteurs du plan.

• Pour la coplanarité, tester l'appartenance du quatrième point à l'équation du plan.

• Pour des droites sécantes : vérifier d'abord la non-colinéarité des vecteurs directeurs, puis résoudre le système et vérifier les trois équations.

• Pour le projeté orthogonal : montrer que H est dans le plan et que $\overrightarrow{\text{DH}}$ est colinéaire à un vecteur normal.

• Rédiger chaque affirmation avec la mention vraie ou fausse, justifiée.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.