Bac 2024, Polynésie : exercice 1

Question 1.

Traduisons les données de l'énoncé en probabilités :

• $60\,\%$ des véhicules vendus sont tout-électrique : $P(E)=0{,}6$, donc $P\left(\overline{E}\right)=0{,}4$

• $75\,\%$ des acheteurs de véhicules tout-électrique peuvent installer une borne : $P_E(B)=0{,}75$

• $52\,\%$ des acheteurs de véhicules hybrides peuvent installer une borne : $P_{\overline{E}}(B)=0{,}52$.

D'après la formule des probabilités composées :

On remplace par les valeurs :

Donc la probabilité que l'acheteur choisisse un véhicule tout-électrique et ait la possibilité d'installer une borne de recharge à son domicile est $0{,}45$.

Réponse : $P(E\cap B)=0{,}45$.

Question 2.

Les évènements $E$ et $\overline{E}$ forment une partition de l'univers (ils sont incompatibles et leur réunion est l'univers entier). D'après la formule des probabilités totales :

On calcule le second terme avec la formule des probabilités composées :

Donc

Donc $P(B)=0{,}658$.

Question 3.

On cherche $P_B(E)$. La probabilité $P(B)=0{,}658$ est non nulle : on utilise la définition de la probabilité conditionnelle.

À la calculatrice, $\dfrac{0{,}45}{0{,}658}=0{,}6838\ldots$ donc, arrondie au millième :

Donc la probabilité qu'un acheteur qui a la possibilité d'installer une borne choisisse un véhicule tout-électrique est environ $0{,}684$.

Réponse : $P_B(E)\approx0{,}684$.

Question 4.

a) On considère l'épreuve de Bernoulli qui consiste à choisir un acheteur, le succès étant $B$ : « l'acheteur peut installer une borne », de probabilité $P(B)=0{,}658$.

Les $20$ acheteurs sont choisis avec remise : on répète donc cette épreuve $20$ fois de façon identique et indépendante.

La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès : elle suit la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0{,}658$.

Donc $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(20\,;\,0{,}658)$.

Réponse : $X\sim\mathcal{B}(20\,;\,0{,}658)$.

b) Pour une loi binomiale, $P(X=k)=\dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$. Ici :

À la calculatrice, on obtient $0{,}0113\ldots$ donc, arrondie au millième :

Donc la probabilité que exactement $8$ acheteurs sur $20$ puissent installer une borne est environ $0{,}011$.

Réponse : $P(X=8)\approx0{,}011$.

c) L'évènement « au moins $10$ acheteurs » est $X\geqslant10$. Par passage à l'évènement contraire :

À la calculatrice, $P(X\leqslant9)\approx0{,}0452$, donc, arrondie au millième :

Donc la probabilité qu'au moins $10$ acheteurs sur $20$ puissent installer une borne est environ $0{,}955$.

Réponse : $P(X\geqslant10)\approx0{,}955$.

d) L'espérance d'une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;p)$ est $E(X)=np$. Donc

Donc, en moyenne, $13{,}16$ acheteurs sur $20$ peuvent installer une borne.

Réponse : $E(X)=13{,}16$.

e) L'installation coûte $1\,200$ euros par acheteur concerné. Le coût de l'offre pour $20$ véhicules vendus est la variable aléatoire $C=1\,200\,X$.

Par linéarité de l'espérance :

Donc la directrice doit prévoir d'engager en moyenne $15\,792$ euros pour cette offre lors de la vente de $20$ véhicules.

Réponse : $15\,792$ euros.

Points clés attendus

• Nommer les évènements, traduire les pourcentages en $P(E)$, $P_E(B)$, $P_{\overline{E}}(B)$ et citer la formule des probabilités composées.

• Citer la formule des probabilités totales avec la partition $\{E\,;\overline{E}\}$ pour obtenir $P(B)=0{,}658$.

• Justifier la loi binomiale : $20$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes (tirage avec remise) de probabilité de succès $0{,}658$.

• Passer par l'évènement contraire pour $P(X\geqslant10)$ et respecter l'arrondi au millième.

• Interpréter l'espérance dans le contexte (coût moyen $=1\,200\times E(X)$).

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