Bac 2024, Centres étrangers : exercice 3

Dans le repère orthonormé $\left(\mathrm{A}\,;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)$, les sommets du cube ont pour coordonnées :

Question 1. Le point I est le milieu de [AB], avec A$(0\,;0\,;0)$ et B$(1\,;0\,;0)$ :

Le point J est le milieu de [CG], avec C$(1\,;1\,;0)$ et G$(1\,;1\,;1)$ :

Donc $\mathrm{I}\left(\dfrac12\,;0\,;0\right)$ et $\mathrm{J}\left(1\,;1\,;\dfrac12\right)$.

Question 2. On calcule les coordonnées des vecteurs utiles, avec E$(0\,;0\,;1)$, F$(1\,;0\,;1)$, H$(0\,;1\,;1)$, I$\left(\frac12\,;0\,;0\right)$ et J$\left(1\,;1\,;\frac12\right)$ :

Les vecteurs $\overrightarrow{FH}$ et $\overrightarrow{FI}$ ne sont pas colinéaires : si l'on avait $\overrightarrow{FI}=k\,\overrightarrow{FH}$, la coordonnée en $z$ donnerait $-1=k\times 0=0$, ce qui est faux.

Ce sont donc deux vecteurs non colinéaires du plan (FHI).

On calcule les produits scalaires dans le repère orthonormé :

Le vecteur $\overrightarrow{EJ}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (FHI).

Donc $\overrightarrow{EJ}$ est normal au plan (FHI).

Question 3. Le vecteur $\overrightarrow{EJ}$ est normal à (FHI), donc le vecteur $-2\overrightarrow{EJ}\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}$, qui lui est colinéaire, l'est aussi. Le plan (FHI) admet donc une équation cartésienne de la forme

Le point F$(1\,;0\,;1)$ appartient au plan :

Une équation de (FHI) est donc $-2x-2y+z+1=0$.

Vérification avec les deux autres points :

• H$(0\,;1\,;1)$ : $0-2+1+1=0$

• I$\left(\dfrac12\,;0\,;0\right)$ : $-1-0+0+1=0$.

Donc une équation cartésienne du plan (FHI) est $-2x-2y+z+1=0$.

Question 4. La droite (EJ) passe par E$(0\,;0\,;1)$ et a pour vecteur directeur $\overrightarrow{EJ}\begin{pmatrix}1\\1\\-\frac12\end{pmatrix}$.

Un point M$(x\,;y\,;z)$ appartient à (EJ) si et seulement s'il existe un réel $t$ tel que $\overrightarrow{EM}=t\,\overrightarrow{EJ}$.

Donc une représentation paramétrique de (EJ) est

Question 5. a) Le point K, projeté orthogonal de E sur le plan (FHI), est l'intersection du plan (FHI) et de la droite passant par E et perpendiculaire à (FHI). Comme $\overrightarrow{EJ}$ est normal à (FHI) et que E appartient à (EJ), cette droite est (EJ).

Le point de (EJ) de paramètre $t$ appartient à (FHI) si et seulement si

On en déduit les coordonnées de K :

Vérification : $-\dfrac89-\dfrac89+\dfrac79+1=\dfrac{-16+7+9}{9}=0$.

Donc $\mathrm{K}\left(\dfrac49\,;\dfrac49\,;\dfrac79\right)$.

Réponse : $\mathrm{K}\left(\dfrac49\,;\dfrac49\,;\dfrac79\right)$.

5. b) On utilise la formule du volume d'une pyramide : $V=\dfrac13\times\mathcal{B}\times h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur correspondante.

On prend pour base le triangle EFH.

Ce triangle est rectangle en E, car $\overrightarrow{EF}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{EH}\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$ sont orthogonaux, et $EF=EH=1$ cm. Son aire est

Le point L, milieu de [EF], est admis être le projeté orthogonal de I sur le plan (EFH). La hauteur de la pyramide issue de I est donc $IL$.

On a E$(0\,;0\,;1)$ et F$(1\,;0\,;1)$, donc $\mathrm{L}\left(\dfrac12\,;0\,;1\right)$, et I$\left(\dfrac12\,;0\,;0\right)$. Donc

Le volume de la pyramide EFHI est donc

Donc le volume de la pyramide EFHI est $\dfrac16$ cm$^3$.

5. c) On calcule de nouveau le volume de la pyramide EFHI, en prenant cette fois pour base le triangle FHI. La hauteur issue de E est la distance de E au plan (FHI), c'est-à-dire $EK$, K étant le projeté orthogonal de E sur (FHI).

On a

donc

Notons $\mathcal{A}$ l'aire du triangle FHI. D'après la question 5. b), le volume vaut $\dfrac16$, donc

On en déduit

Donc l'aire du triangle FHI est $\dfrac34$ cm$^2$.

Réponse : $\mathcal{A}_{FHI}=\dfrac34\ \text{cm}^2$.

Points clés attendus

• Calculer les coordonnées des vecteurs avant tout produit scalaire.

• Pour le vecteur normal : produit scalaire nul avec deux vecteurs non colinéaires du plan, et justifier la non-colinéarité.

• Déterminer l'équation du plan avec un point, puis vérifier avec les autres points.

• Obtenir le projeté orthogonal comme intersection de la perpendiculaire (EJ) et du plan.

• Calculer le volume de la même pyramide avec deux bases différentes pour en déduire une aire.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.