Bac 2024, Centres étrangers : exercice 2

Question 1. a) Étudions la limite de $f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x-1}$ quand $x$ tend vers $1$ par valeurs inférieures (l'ensemble de définition est $]-\infty\,;1[$).

• Par continuité de la fonction exponentielle, $\lim\limits_{x\to 1}\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}$, nombre strictement positif.

• Pour $x<1$, $x-1<0$, et $\lim\limits_{x\to 1^-}(x-1)=0^-$.

Par quotient d'un nombre strictement positif par une quantité qui tend vers $0$ par valeurs négatives :

Réponse : $\lim\limits_{x\to 1}f(x)=-\infty$.

1. b) Comme $\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)=-\infty$, la courbe $\mathcal{C}$ admet pour asymptote verticale la droite d'équation $x=1$.

Question 2. Étudions la limite de $f$ en $-\infty$.

• $\lim\limits_{x\to-\infty}\mathrm{e}^{x}=0$.

• $\lim\limits_{x\to-\infty}(x-1)=-\infty$, donc $\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{1}{x-1}=0$.

On écrit $f(x)=\mathrm{e}^{x}\times\dfrac{1}{x-1}$ : par produit de deux fonctions de limite $0$,

Donc la courbe $\mathcal{C}$ admet pour asymptote horizontale, en $-\infty$, la droite d'équation $y=0$.

Réponse : $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=0$.

Question 3. a) La fonction $f$ est de la forme $\dfrac uv$ avec $u(x)=\mathrm{e}^{x}$ et $v(x)=x-1$.

Les fonctions $u$ et $v$ sont dérivables sur $]-\infty\,;1[$, avec $u'(x)=\mathrm{e}^{x}$ et $v'(x)=1$, et $v(x)\neq 0$ sur cet intervalle.

D'après la formule de dérivation d'un quotient $\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$, pour tout $x<1$ :

Donc, pour tout $x\in]-\infty\,;1[$, $f'(x)=\dfrac{(x-2)\,\mathrm{e}^{x}}{(x-1)^2}$.

3. b) Étudions le signe de $f'(x)$ pour $x<1$.

• $\mathrm{e}^{x}>0$

• $(x-1)^2>0$ car $x\neq 1$

• $x-2<0$ car $x<1<2$.

Donc $f'(x)<0$ sur $]-\infty\,;1[$ : la fonction $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty\,;1[$.

Avec les limites des questions 1 et 2, le tableau de variations de $f$ se décrit ainsi : sur $]-\infty\,;1[$, $f$ décroît strictement d'une limite égale à $0$ en $-\infty$ (valeur non atteinte) vers une limite égale à $-\infty$ en $1^-$.

En particulier, $f(x)<0$ pour tout $x\in]-\infty\,;1[$.

Question 4. a) On étudie le signe de $f''(x)=\dfrac{(x^2-4x+5)\,\mathrm{e}^{x}}{(x-1)^3}$ sur $]-\infty\,;1[$.

• Le trinôme $x^2-4x+5$ a pour discriminant $\Delta=(-4)^2-4\times 1\times 5=-4<0$ et son coefficient dominant est positif : $x^2-4x+5>0$ pour tout réel $x$.

• $\mathrm{e}^{x}>0$.

• Pour $x<1$, $x-1<0$, donc $(x-1)^3<0$.

Le numérateur est strictement positif et le dénominateur strictement négatif, donc $f''(x)<0$ pour tout $x\in]-\infty\,;1[$.

Une fonction dont la dérivée seconde est négative sur un intervalle est concave sur cet intervalle.

Donc la fonction $f$ est concave sur $]-\infty\,;1[$.

4. b) La tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ a pour équation $y=f'(0)\,(x-0)+f(0)$.

On a

Donc $T$ a pour équation $y=-2x-1$.

Réponse : $T:\ y=-2x-1$.

4. c) La fonction $f$ est concave sur $]-\infty\,;1[$, donc la courbe $\mathcal{C}$ est située en dessous de chacune de ses tangentes, en particulier de $T$.

Donc, pour tout $x\in]-\infty\,;1[$,

On multiplie les deux membres par $x-1$, qui est strictement négatif : l'inégalité change de sens. On obtient

Donc, pour tout réel $x$ de $]-\infty\,;1[$, $\mathrm{e}^{x}\geqslant(-2x-1)(x-1)$.

Question 5. a) On applique le théorème de la bijection (corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) à $f$ sur $]-\infty\,;1[$.

• La fonction $f$ est dérivable, donc continue, sur $]-\infty\,;1[$.

• La fonction $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty\,;1[$ (question 3. b)).

• $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=0$ et $\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)=-\infty$.

Donc $f$ réalise une bijection de $]-\infty\,;1[$ sur $]-\infty\,;0[$.

Le réel $-2$ appartient à $]-\infty\,;0[$ : il admet un unique antécédent par $f$ dans $]-\infty\,;1[$.

Donc l'équation $f(x)=-2$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]-\infty\,;1[$.

5. b) À la calculatrice (tableau de valeurs de $f$ au pas de $0{,}01$) :

Donc $f(0{,}32)<-2<f(0{,}31)$.

La fonction $f$ étant strictement décroissante, on en déduit $0{,}31<\alpha<0{,}32$.

Donc un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$ est $0{,}31<\alpha<0{,}32$.

Réponse : $0{,}31<\alpha<0{,}32$.

Points clés attendus

• Préciser que la limite en $1$ se calcule par valeurs inférieures ($x-1\to 0^-$) et en déduire l'asymptote verticale.

• Dériver un quotient avec $\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ et factoriser $\mathrm{e}^{x}$.

• Justifier le signe de $f'$ et de $f''$ facteur par facteur (exponentielle, carré, discriminant négatif, signe de $(x-1)^3$).

• Utiliser la concavité : la courbe est sous ses tangentes, puis changer le sens de l'inégalité en multipliant par un nombre négatif.

• Citer le théorème de la bijection avec continuité, stricte monotonie et limites aux bornes.

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