Bac 2024, Centres étrangers : exercice 4

Partie A

Question 1. La fonction $f$ est définie sur $[0\,;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x+1}$.

On pose $u(x)=x+1$. Pour tout $x\geqslant 0$, $u(x)\geqslant 1>0$, donc $f=\sqrt{u}$ est dérivable (ce que l'énoncé admet) et, d'après la formule $\left(\sqrt u\right)'=\dfrac{u'}{2\sqrt u}$ :

Pour tout $x\geqslant 0$, $\sqrt{x+1}>0$, donc $f'(x)>0$.

Une fonction dérivable dont la dérivée est strictement positive sur un intervalle est strictement croissante sur cet intervalle.

Donc la fonction $f$ est (strictement) croissante sur $[0\,;+\infty[$.

Question 2. Soit $x\in[0\,;+\infty[$. On a $\sqrt{x+1}\geqslant 1$ et $x\geqslant 0$, donc $\sqrt{x+1}+x\geqslant 1>0$ : on peut multiplier et diviser par cette quantité, qui est non nulle.

On utilise la quantité conjuguée de $\sqrt{x+1}-x$ et l'identité remarquable $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ :

Donc, pour tout $x\geqslant 0$,

Question 3. Soit $x\in[0\,;+\infty[$. Le dénominateur $\sqrt{x+1}+x$ est strictement positif, donc, d'après la question 2 :

Le trinôme $-x^2+x+1$ a pour discriminant $\Delta=1^2-4\times(-1)\times 1=5>0$. Il a deux racines réelles :

On a $\sqrt5>1$, donc $x_2=\dfrac{1-\sqrt5}{2}<0$ : cette racine n'appartient pas à $[0\,;+\infty[$.

On a $x_1=\dfrac{1+\sqrt5}{2}>0$ : cette racine appartient à $[0\,;+\infty[$.

Donc l'équation $f(x)=x$ admet sur $[0\,;+\infty[$ pour unique solution $\ell=\dfrac{1+\sqrt5}{2}$.

Partie B

Question 1. Pour tout entier naturel $n$, on note $P(n)$ la propriété $1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n$.

Initialisation. On a $u_0=5$ et $u_1=f(5)=\sqrt6\approx 2{,}45$.

Donc $1\leqslant\sqrt6\leqslant 5$, c'est-à-dire $1\leqslant u_1\leqslant u_0$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire

Montrons $P(k+1)$ : $1\leqslant u_{k+2}\leqslant u_{k+1}$.

Les réels $1$, $u_{k+1}$ et $u_k$ appartiennent à $[0\,;+\infty[$, intervalle sur lequel $f$ est croissante (partie A, question 1). On applique $f$ aux trois membres de l'hypothèse de récurrence en conservant le sens des inégalités :

c'est-à-dire

Comme $\sqrt2\geqslant 1$, on obtient $1\leqslant u_{k+2}\leqslant u_{k+1}$ : $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$,

Question 2. D'après la question 1, pour tout $n$, $u_{n+1}\leqslant u_n$ : la suite $(u_n)$ est décroissante.

D'après la même question, pour tout $n$, $u_{n+1}\geqslant 1$, et $u_0=5\geqslant 1$ : la suite $(u_n)$ est minorée par $1$.

D'après le théorème de la limite monotone (toute suite décroissante et minorée converge), la suite $(u_n)$ converge.

Question 3. Notons $L$ la limite de la suite $(u_n)$, dont l'existence est assurée par la question 2.

Comme $u_n\geqslant 1$ pour tout $n$, le passage à la limite dans une inégalité large donne $L\geqslant 1$. En particulier $L\in[0\,;+\infty[$.

La fonction $f$ est continue sur $[0\,;+\infty[$ (elle y est dérivable). On a $u_{n+1}=f(u_n)$, avec $u_n\to L$ : par continuité de $f$ en $L$, $f(u_n)\to f(L)$.

La suite $(u_{n+1})$ converge aussi vers $L$. Par unicité de la limite, $L=f(L)$.

D'après la partie A, question 3, l'équation $f(x)=x$ a pour unique solution $\ell=\dfrac{1+\sqrt5}{2}$ sur $[0\,;+\infty[$.

Donc $L=\ell$ : la suite $(u_n)$ converge vers $\ell=\dfrac{1+\sqrt5}{2}$.

Question 4. a) On exécute seuil(2) : on cherche le nombre $i$ d'itérations de la boucle while tant que $|u-\ell|\geqslant 10^{-2}$. On a $\ell\approx 1{,}6180$. Les valeurs successives de $u$ et de l'écart $u-\ell$ (arrondis à $10^{-3}$) sont :

• $i=0$ : $u=u_0=5$, écart $3{,}382$

• $i=1$ : $u=u_1\approx 2{,}449$, écart $0{,}831$

• $i=2$ : $u=u_2\approx 1{,}857$, écart $0{,}239$

• $i=3$ : $u=u_3\approx 1{,}690$, écart $0{,}072$

• $i=4$ : $u=u_4\approx 1{,}640$, écart $0{,}022$

• $i=5$ : $u=u_5\approx 1{,}625$, écart $0{,}007$.

L'écart est supérieur ou égal à $10^{-2}$ pour $i=0{,}1,2{,}3,4$ et inférieur à $10^{-2}$ pour $i=5$ : la boucle s'arrête quand $i=5$.

Donc seuil(2) renvoie $5$.

Réponse : seuil(2) renvoie $5$.

4. b) Les termes de la suite sont minorés par sa limite : une suite décroissante qui converge vers $\ell$ vérifie $u_n\geqslant\ell$ pour tout $n$ (passage à la limite dans l'inégalité $u_n\geqslant u_m$ pour $m\geqslant n$). Donc $|u_n-\ell|=u_n-\ell$.

La fonction seuil(n) renvoie le nombre d'itérations $i$ effectuées jusqu'à ce que la condition $|u-\ell|\geqslant 10^{-n}$ cesse d'être vraie.

La valeur $9$ renvoyée par seuil(4) signifie donc que $9$ est le plus petit entier $i$ tel que $|u_i-\ell|<10^{-4}$.

Autrement dit, $u_9$ est le premier terme de la suite qui est une valeur approchée de $\ell=\dfrac{1+\sqrt5}{2}$ à moins de $10^{-4}$ près. Comme la suite est décroissante et minorée par $\ell$, tous les termes suivants vérifient aussi cette précision.

Points clés attendus

• Dériver $\sqrt{x+1}$ avec $\dfrac{u'}{2\sqrt u}$ et conclure par le signe de la dérivée.

• Utiliser la quantité conjuguée pour la question A2, puis éliminer la racine négative du trinôme en partie A3.

• Rédiger la récurrence en trois temps en citant la croissance de $f$ sur $[0\,;+\infty[$.

• Citer le théorème de la limite monotone, puis la continuité de $f$ et l'unicité de la limite pour obtenir $L=f(L)$ et $L=\ell$.

• Interpréter la valeur renvoyée par le script comme un rang à partir duquel la précision $10^{-4}$ est atteinte.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.