Bac 2024, Asie : exercice 2

Question 1. On calcule les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ :

Ces vecteurs ne sont pas colinéaires : l'ordonnée de $\overrightarrow{AB}$ est nulle alors que celle de $\overrightarrow{AC}$ est égale à $4$. S'il existait un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AC}=k\,\overrightarrow{AB}$, on aurait $4=k\times0=0$, ce qui est impossible.

Donc les points A, B et C ne sont pas alignés.

Question 2. a) Les points A, B et C ne sont pas alignés, ils définissent donc un plan (ABC). Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ forment une base de ce plan.

On a $\overrightarrow{AD}=(4-3\,;3-(-1)\,;-2-1)=(1\,;4\,;-3)$.

On cherche deux réels $a$ et $b$ tels que $\overrightarrow{AD}=a\,\overrightarrow{AB}+b\,\overrightarrow{AC}$, c'est-à-dire

La deuxième équation donne $b=1$. La première donne alors $a=1+3b=4$. La troisième est vérifiée : $-4+1=-3$.

On a donc $\overrightarrow{AD}=4\,\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$. Le vecteur $\overrightarrow{AD}$ est combinaison linéaire de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.

Donc les points A, B, C et D sont coplanaires.

Question 2. b) On a $\overrightarrow{CD}=(4-0\,;3-3\,;-2-2)=(4\,;0\,;-4)$, et $4\,\overrightarrow{AB}=(4\,;0\,;-4)$. Donc

Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires : les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles. Elles ne sont pas confondues, car C n'appartient pas à la droite $(AB)$ (les points A, B et C ne sont pas alignés).

Le quadrilatère ABDC est plan (question 2. a)) et ses côtés opposés $[AB]$ et $[CD]$ sont parallèles.

Donc ABDC est un trapèze de bases $[AB]$ et $[CD]$.

Question 3. a) Les vecteurs $\overrightarrow{AB}(1\,;0\,;-1)$ et $\overrightarrow{AC}(-3\,;4\,;1)$ sont non colinéaires (question 1). On calcule les produits scalaires avec $\vec{n}(2\,;1\,;2)$ :

Le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC).

Donc $\vec{n}(2\,;1\,;2)$ est un vecteur normal au plan (ABC).

Question 3. b) Le vecteur $\vec{n}(2\,;1\,;2)$ est normal à (ABC), donc le plan (ABC) admet une équation cartésienne de la forme $2x+y+2z+d=0$, où $d$ est un réel.

Le point $A(3\,;-1\,;1)$ appartient au plan, donc $2\times3+(-1)+2\times1+d=0$, soit $7+d=0$ et $d=-7$.

Vérification avec les autres points : pour B, $2\times4-1+0-7=0$   pour C, $0+3+2\times2-7=0$.

Donc une équation cartésienne du plan (ABC) est

Réponse : $2x+y+2z-7=0$.

Question 3. c) La droite $\Delta$ est orthogonale au plan (ABC), donc le vecteur normal $\vec{n}(2\,;1\,;2)$ est un vecteur directeur de $\Delta$. Elle passe par S$(2\,;1\,;4)$.

Une représentation paramétrique de $\Delta$ est donc

Réponse : $x=2+2t$, $y=1+t$, $z=4+2t$, $t\in\mathbb{R}$.

Question 3. d) Le point I est le point commun à $\Delta$ et au plan (ABC) : ses coordonnées vérifient à la fois la représentation paramétrique de $\Delta$ et l'équation du plan. On remplace :

Donc $t=-\dfrac23$.

On obtient les coordonnées de I :

Donc $\mathrm{I}\left(\dfrac23\,;\dfrac13\,;\dfrac83\right)$.

On calcule ensuite la distance SI. On a $\overrightarrow{SI}=\left(\dfrac23-2\,;\dfrac13-1\,;\dfrac83-4\right)=\left(-\dfrac43\,;-\dfrac23\,;-\dfrac43\right)$, donc

Donc SI $=2$ cm.

Question 4. a) On vérifie que H$(3\,;3\,;-1)$ est le projeté orthogonal de B sur la droite (CD). Il faut montrer que H appartient à (CD) et que $\overrightarrow{BH}$ est orthogonal à $\overrightarrow{CD}$.

H appartient à (CD). On a $\overrightarrow{CH}=(3-0\,;3-3\,;-1-2)=(3\,;0\,;-3)$ et $\overrightarrow{CD}=(4\,;0\,;-4)$. Donc $\overrightarrow{CH}=\dfrac34\,\overrightarrow{CD}$ : les vecteurs sont colinéaires et H est sur la droite (CD).

$\overrightarrow{BH}$ est orthogonal à $\overrightarrow{CD}$. On a $\overrightarrow{BH}=(3-4\,;3-(-1)\,;-1-0)=(-1\,;4\,;-1)$, donc

Donc H est bien le projeté orthogonal de B sur la droite (CD).

On calcule alors

Donc HB $=3\sqrt2$ cm.

Question 4. b) Les bases du trapèze ABDC sont $[AB]$ et $[CD]$ :

Les droites (AB) et (CD) sont parallèles et (HB) est perpendiculaire à (CD) avec H sur (CD) et B sur (AB) : la hauteur du trapèze est donc $h=HB=3\sqrt2$.

D'après la formule de l'aire d'un trapèze :

Donc l'aire du trapèze ABDC est $15$ cm$^2$.

Réponse : $\mathcal{A}=15$ cm$^2$.

Question 5. La base de la pyramide SABDC est le trapèze ABDC, contenu dans le plan (ABC).

Le point S n'appartient pas à ce plan : $2\times2+1+2\times4-7=6\neq0$.

La droite $\Delta$ passe par S et est orthogonale au plan (ABC), et elle coupe ce plan en I : I est le projeté orthogonal de S sur (ABC). La hauteur de la pyramide est donc $SI=2$ cm.

D'après la formule du volume d'une pyramide :

Donc le volume de la pyramide SABDC est $10$ cm$^3$.

Réponse : $V=10$ cm$^3$.

Points clés attendus

• Justifier la non-colinéarité de deux vecteurs par une coordonnée, et non par une simple affirmation.

• Coplanarité : exprimer $\overrightarrow{AD}$ comme combinaison linéaire de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ en résolvant le système complet. Trapèze : $\overrightarrow{CD}=4\,\overrightarrow{AB}$.

• Vecteur normal : deux produits scalaires nuls avec deux vecteurs non colinéaires du plan, puis équation cartésienne et vérification avec un point du plan.

• Intersection droite-plan : substituer la représentation paramétrique dans l'équation du plan, puis calculer la distance SI.

• Projeté orthogonal : vérifier à la fois l'appartenance à la droite et l'orthogonalité.

• Aire et volume : citer les formules, et identifier la hauteur de la pyramide comme la distance SI de S au plan de la base.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.