Terminale Spé Maths / Chapitre 9 : Dénombrement / Annales du bac

Bac 2024, Centres étrangers : exercice 1

6 juin 2024 · jour 2 · 5 points

Un sac opaque contient huit jetons numérotés de 1 à 8, indiscernables au toucher.

À trois reprises, un joueur pioche un jeton dans ce sac, note son numéro, puis le remet dans le sac.

Dans ce contexte, on appelle « tirage » la liste ordonnée des trois numéros obtenus.

Par exemple, si le joueur pioche le jeton numéro 4, puis le jeton numéro 5, puis le jeton numéro 1, alors le tirage correspondant est (4   5   1).

Déterminer le nombre de tirages possibles.
1. Déterminer le nombre de tirages sans répétition de numéro.
2. En déduire le nombre de tirages contenant au moins une répétition de numéro.

On note $X_1$ la variable aléatoire égale au numéro du premier jeton pioché, $X_2$ celle égale au numéro du deuxième jeton pioché et $X_3$ celle égale au numéro du troisième jeton pioché.

Puisqu'il s'agit d'un tirage avec remise, les variables aléatoires $X_1, X_2$ , et $X_3$ sont indépendantes et suivent la même loi de probabilité.

Établir la loi de probabilité de la variable aléatoire $X_1$
Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $X_1$

On note $S = X_1 + X_2 + X_3$ la variable aléatoire égale à la somme des numéros des trois jetons piochés.

Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $S$ .
Déterminer $P(S = 24)$ .
Si un joueur obtient une somme supérieure ou égale à $22$ , alors il gagne un lot.
1. Justifier qu'il existe exactement $10$ tirages permettant de gagner un lot.
2. En déduire la probabilité de gagner un lot.

Voir le corrigé

Question 1. Un tirage est une liste ordonnée de trois numéros. Les pioches se font avec remise : à chacune des trois pioches, il y a $8$ numéros possibles.

D'après le principe multiplicatif, le nombre de tirages possibles est

8\times 8\times 8=8^3=512.

Donc il y a $512$ tirages possibles.

Réponse : $512$ .

Question 2. a) Un tirage sans répétition de numéro est une liste de trois numéros deux à deux distincts :

$8$ choix pour le premier numéro
$7$ choix pour le deuxième (différent du premier)
$6$ choix pour le troisième (différent des deux premiers).

D'après le principe multiplicatif, le nombre de tirages sans répétition est

8\times 7\times 6=336.

Donc il y a $336$ tirages sans répétition de numéro.

Réponse : $336$ .

2. b) Un tirage contient au moins une répétition si et seulement s'il n'est pas sans répétition. Les tirages contenant au moins une répétition sont donc les tirages possibles qui ne sont pas sans répétition :

512-336=176.

Donc il y a $176$ tirages contenant au moins une répétition de numéro.

Réponse : $176$ .

Question 3. Les huit jetons sont indiscernables au toucher : à chaque pioche, chaque jeton a la même probabilité d'être choisi. La variable aléatoire $X_1$ prend les valeurs $1{,}2,\dots,8$ avec la même probabilité.

Donc, pour tout entier $k$ de $1$ à $8$ ,

P(X_1=k)=\dfrac18.

La loi de probabilité de $X_1$ est donc la loi uniforme sur $\{1\,;2\,;\dots\,;8\}$ : chaque valeur a pour probabilité $\dfrac18=0{,}125$ .

Question 4. Par définition de l'espérance :

E(X_1)=\sum_{k=1}^{8}k\,P(X_1=k)=\dfrac18\,(1+2+3+4+5+6+7+8)=\dfrac{36}{8}=4{,}5.

Donc l'espérance de $X_1$ est $4{,}5$ .

Réponse : $E(X_1)=4{,}5$ .

Question 5. On a $S=X_1+X_2+X_3$ .

Par linéarité de l'espérance :

E(S)=E(X_1)+E(X_2)+E(X_3).

Les variables $X_1$ , $X_2$ et $X_3$ suivent la même loi, donc elles ont la même espérance $4{,}5$ .

Donc

E(S)=3\times 4{,}5=13{,}5.

Donc l'espérance de la somme des trois numéros est $13{,}5$ .

Réponse : $E(S)=13{,}5$ .

Question 6. Chaque numéro est au plus égal à $8$ , donc $S\leqslant 8+8+8=24$ .

L'égalité $S=24$ exige $X_1=X_2=X_3=8$ . Un seul tirage réalise cette condition : $(8\,;8\,;8)$ .

Les variables $X_1$ , $X_2$ , $X_3$ étant indépendantes :

P(S=24)=P(X_1=8)\times P(X_2=8)\times P(X_3=8)=\left(\dfrac18\right)^3=\dfrac{1}{512}.

Donc $P(S=24)=\dfrac{1}{512}$ .

Réponse : $P(S=24)=\dfrac{1}{512}\approx 0{,}002$ .

Question 7. a) Les tirages gagnants sont ceux dont la somme est supérieure ou égale à $22$ .

Comme la somme maximale est $24$ , les tirages gagnants ont une somme égale à $22$ , $23$ ou $24$ . On les classe selon la somme.

Somme $24$ : seul le tirage $(8\,;8\,;8)$ convient. Cela fait $1$ tirage.
Somme $23$ : il faut perdre $1$ par rapport à $24$ , donc les numéros sont $8$ , $8$ et $7$ . Le $7$ peut être en première, deuxième ou troisième position : $(7\,;8\,;8)$ , $(8\,;7\,;8)$ , $(8\,;8\,;7)$ . Cela fait $3$ tirages.
Somme $22$ : il faut perdre $2$ par rapport à $24$ , ce qui se décompose en $2+0+0$ ou $1+1+0$ . Les numéros sont donc $8$ , $8$ et $6$ , ou bien $8$ , $7$ et $7$ .
- Numéros $8{,}8,6$ : $3$ tirages (position du $6$ ).
- Numéros $8{,}7,7$ : $3$ tirages (position du $8$ ).
Cela fait $6$ tirages.

Le nombre de tirages gagnants est donc

1+3+6=10.

Donc il y a exactement $10$ tirages permettant de gagner un lot.

7. b) Les jetons étant indiscernables et les pioches indépendantes, les $512$ tirages sont équiprobables, chacun de probabilité $\dfrac{1}{8^3}=\dfrac1{512}$ .

La probabilité de gagner un lot est donc le quotient du nombre de tirages gagnants par le nombre de tirages possibles :

P(S\geqslant 22)=\dfrac{10}{512}=\dfrac{5}{256}\approx 0{,}0195.

Donc la probabilité de gagner un lot est $\dfrac{5}{256}$ , soit environ $0{,}0195$ (arrondie au dix-millième).

Réponse : $\dfrac{10}{512}=\dfrac{5}{256}\approx 0{,}0195$ .

Points clés attendus

Dénombrer avec le principe multiplicatif (tirage avec remise : $8^3$   sans répétition : $8\times 7\times 6$ ) et passer au complémentaire.
Justifier la loi uniforme de $X_1$ par l'indiscernabilité des jetons.
Utiliser la linéarité de l'espérance, sans avoir besoin de l'indépendance.
Pour la question 7, énumérer les tirages sans oubli et sans double compte, en comptant les positions.
Conclure par équiprobabilité : probabilité $=\dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$ .

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.

Comment t'entraîner

Chronomètre-toi, rédige sur papier comme le jour du bac, puis seulement après regarde le cours. Si tu bloques sur une question, écris « on admet que… » et passe à la suivante.

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Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2024 (Centres étrangers, 6 juin 2024 (jour 2)), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (Denis Vergès et François Hache) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

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