Bac 2024, Centres étrangers : exercice 4

Question 1. On calcule les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ avec A$(-2\,;0\,;2)$, B$(-1\,;3\,;0)$ et C$(1\,;-1\,;2)$ :

Les points A, B, C sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

Supposons qu'il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AC}=k\,\overrightarrow{AB}$.

La coordonnée en $z$ donnerait $0=-2k$, donc $k=0$.

La coordonnée en $x$ donnerait alors $3=k\times 1=0$, ce qui est faux.

Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont donc pas colinéaires.

Donc les points A, B et C ne sont pas alignés.

Question 2. a) Le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}$ est orthogonal au plan (ABC) s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.

Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont non colinéaires (question 1). On calcule les produits scalaires dans le repère orthonormé :

Le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à $\overrightarrow{AB}$ et à $\overrightarrow{AC}$.

Donc $\vec{n}$ est orthogonal au plan (ABC), c'est un vecteur normal à ce plan.

2. b) Le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}$ est normal au plan (ABC), donc ce plan admet une équation cartésienne de la forme

Le point A$(-2\,;0\,;2)$ appartient au plan, donc ses coordonnées vérifient l'équation :

Une équation cartésienne de (ABC) est donc $x+3y+5z-8=0$.

Vérification avec les deux autres points :

• B$(-1\,;3\,;0)$ : $-1+9+0-8=0$

• C$(1\,;-1\,;2)$ : $1-3+10-8=0$.

Donc une équation cartésienne du plan (ABC) est $x+3y+5z-8=0$.

2. c) On teste les coordonnées de D$(0\,;0\,;3)$ dans l'équation du plan (ABC) :

Donc D n'appartient pas au plan (ABC).

Donc les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires.

Question 3. a) Le point de $\mathcal{D}_1$ de paramètre $t=0$ a pour coordonnées $(0\,;0\,;3)$ : c'est le point D. Donc D appartient à $\mathcal{D}_1$.

Un vecteur directeur de $\mathcal{D}_1$, lu sur la représentation paramétrique, est $\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}=\vec{n}$.

Or $\vec{n}$ est normal au plan (ABC) (question 2. a)).

Donc $\mathcal{D}_1$ est la droite passant par D et perpendiculaire au plan (ABC), c'est-à-dire à la face opposée à D.

Donc $\mathcal{D}_1$ est la hauteur du tétraèdre ABCD issue de D.

3. b) Les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ ont pour vecteurs directeurs respectifs $\vec{u}_1\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}$ et $\vec{u}_2\begin{pmatrix}3\\-5\\-6\end{pmatrix}$.

Ces vecteurs ne sont pas colinéaires : si $\vec{u}_2=k\vec{u}_1$, la première coordonnée donne $k=3$, et la deuxième donnerait $-5=9$, ce qui est faux.

Les droites ne sont donc pas parallèles. Elles sont sécantes si et seulement si elles ont un point commun.

Un point commun correspond à un couple $(t\,;s)$ vérifiant le système

On remplace $t$ par $1+3s$ dans la deuxième équation :

Alors $t=1+3\times\left(-\dfrac27\right)=1-\dfrac67=\dfrac17$.

On vérifie la troisième équation avec ces valeurs :

Elle est vérifiée : le système admet la solution $\left(t\,;s\right)=\left(\dfrac17\,;-\dfrac27\right)$.

Les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ sont donc sécantes. Leur point d'intersection est obtenu avec $t=\dfrac17$ dans la représentation de $\mathcal{D}_1$ :

Donc les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ sont sécantes au point de coordonnées $\left(\dfrac17\,;\dfrac37\,;\dfrac{26}{7}\right)$.

Réponse : point d'intersection $\left(\dfrac17\,;\dfrac37\,;\dfrac{26}{7}\right)$.

Question 4. a) Le projeté orthogonal H de D sur le plan (ABC) est le point d'intersection du plan (ABC) et de la droite passant par D et perpendiculaire à (ABC). D'après la question 3. a), cette droite est $\mathcal{D}_1$.

Un point de $\mathcal{D}_1$ de paramètre $t$, $(t\,;3t\,;3+5t)$, appartient au plan (ABC) si et seulement si

On en déduit les coordonnées de H :

Vérification : $-\dfrac15-\dfrac95+10-8=-2+2=0$.

Donc $\mathrm{H}\left(-\dfrac15\,;-\dfrac35\,;2\right)$.

Réponse : $\mathrm{H}\left(-\dfrac15\,;-\dfrac35\,;2\right)$.

4. b) La distance du point D au plan (ABC) est la distance DH, H étant le projeté orthogonal de D sur ce plan.

On a

Le repère étant orthonormé :

Donc la distance du point D au plan (ABC) est $\dfrac{\sqrt{35}}{5}$, soit environ $1{,}18$ au centième près.

(Cette valeur est cohérente avec la formule de distance à un plan : $\dfrac{|0+0+15-8|}{\sqrt{1+9+25}}=\dfrac{7}{\sqrt{35}}=\dfrac{\sqrt{35}}{5}$.)

Réponse : $DH=\dfrac{\sqrt{35}}{5}\approx 1{,}18$.

Points clés attendus

• Justifier la non-colinéarité de deux vecteurs coordonnée par coordonnée.

• Pour un vecteur normal : produit scalaire nul avec deux vecteurs non colinéaires du plan.

• Obtenir l'équation cartésienne puis vérifier qu'un point supplémentaire la satisfait.

• Montrer que deux droites sont sécantes : vecteurs directeurs non colinéaires et système compatible.

• Obtenir le projeté orthogonal comme intersection de la perpendiculaire et du plan, puis calculer la distance avec la formule de la norme.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.