Bac 2024, Centres étrangers : exercice 1

Partie A

Question 1. La fonction $f$ est définie sur $[0\,;1]$ par $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ avec

Les fonctions $u$ et $v$ sont dérivables sur $[0\,;1]$ (fonctions affines).

Pour tout $x\in[0\,;1]$, on a $v(x)\geqslant 0{,}03>0$ : le dénominateur ne s'annule pas, donc $f$ est dérivable sur $[0\,;1]$.

On a $u'(x)=0{,}96$ et $v'(x)=0{,}93$.

D'après la formule de dérivation d'un quotient $\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$, pour tout $x\in[0\,;1]$ :

Or $0{,}96\times 0{,}03=0{,}0288$.

Donc, pour tout $x\in[0\,;1]$ :

Question 2. Pour tout $x\in[0\,;1]$ :

• le numérateur $0{,}0288$ est strictement positif

• le dénominateur $(0{,}93x+0{,}03)^2$ est un carré de réel non nul, donc strictement positif.

Le quotient est donc strictement positif : $f'(x)>0$ pour tout $x\in[0\,;1]$.

Une fonction dérivable dont la dérivée est strictement positive sur un intervalle est strictement croissante sur cet intervalle.

Donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0\,;1]$.

On a $f(0)=0$ et $f(1)=\dfrac{0{,}96}{0{,}96}=1$ : $f$ croît de $0$ à $1$.

Partie B

Question 1. On traduit les données de l'énoncé en probabilités.

La proportion de sportifs dopés est $x$, donc $P(D)=x$ et $P(\overline{D})=1-x$.

« La probabilité qu'un sportif soit déclaré positif sachant qu'il est dopé est égale à $0{,}96$ » donne $P_D(T)=0{,}96$.

« La probabilité qu'un sportif soit déclaré positif sachant qu'il n'est pas dopé est égale à $0{,}03$ » donne $P_{\overline{D}}(T)=0{,}03$.

Les évènements $T$ et $\overline{T}$ sont contraires, donc leurs probabilités conditionnelles sachant un même évènement ont pour somme $1$ :

L'arbre complété est donc le suivant.

• Branche $D$ (probabilité $x$) : vers $T$ avec $0{,}96$, vers $\overline{T}$ avec $0{,}04$.

• Branche $\overline{D}$ (probabilité $1-x$) : vers $T$ avec $0{,}03$, vers $\overline{T}$ avec $0{,}97$.

Question 2. On cherche $P(D\cap T)$.

D'après la formule des probabilités conditionnelles, $P(D\cap T)=P(D)\times P_D(T)$.

Donc

Donc la probabilité qu'un sportif soit dopé et ait un test positif est $0{,}96x$.

Réponse : $P(D\cap T)=0{,}96x$.

Question 3. Les évènements $D$ et $\overline{D}$ sont incompatibles et leur réunion est l'univers : ils forment une partition de l'univers (un sportif est soit dopé, soit non dopé).

D'après la formule des probabilités totales :

On a $P(D\cap T)=0{,}96x$ (question 2) et

Donc

Donc la probabilité de l'évènement $T$ est égale à $0{,}93x+0{,}03$.

Question 4. Avec $50$ sportifs dopés parmi les $1\,000$ testés, la proportion de sportifs dopés est

On cherche la probabilité qu'un sportif soit dopé sachant que son test est positif, c'est-à-dire $P_T(D)$.

Comme $P(T)=0{,}93x+0{,}03>0$, la formule des probabilités conditionnelles donne, avec les questions 2 et 3 :

Pour $x=0{,}05$ :

Donc la probabilité qu'un sportif soit dopé sachant que son test est positif est égale à $f(0{,}05)$, soit environ $0{,}63$ au centième près.

Réponse : $P_T(D)=f(0{,}05)=\dfrac{0{,}048}{0{,}0765}\approx 0{,}63$.

Question 5. a) La valeur prédictive positive du test est $P_T(D)=f(x)$.

On cherche les $x\in[0\,;1]$ tels que $f(x)\geqslant 0{,}9$.

Comme $0{,}93x+0{,}03>0$ sur $[0\,;1]$, on peut multiplier les deux membres par ce nombre sans changer le sens de l'inégalité :

Or $\dfrac{9}{41}\approx 0{,}2195$, et $\dfrac{9}{41}\in[0\,;1]$.

Donc la valeur prédictive positive du test est supérieure ou égale à $0{,}9$ à partir de $x=\dfrac{9}{41}$, soit environ $0{,}22$ au centième près (environ $22\,\%$ de sportifs dopés).

Réponse : $x\geqslant\dfrac{9}{41}$, soit $x\gtrsim 0{,}22$.

5. b) D'après la partie A, la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0\,;1]$.

Cibler les sportifs supposés plus fréquemment dopés revient à tester une population où la proportion $x$ de sportifs dopés est plus grande.

Comme la valeur prédictive positive est $f(x)$ et que $f$ est croissante, elle augmente avec $x$.

Donc cette décision augmente la valeur prédictive positive du test : un test positif devient plus probablement le signe d'un réel dopage.

Points clés attendus

• Dériver un quotient en citant $\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ et justifier que le dénominateur ne s'annule pas.

• Déduire le sens de variation du signe de $f'$ (numérateur et carré strictement positifs).

• Citer la formule des probabilités totales avec la partition $\{D\,;\overline{D}\}$.

• Reconnaître $P_T(D)=\dfrac{P(D\cap T)}{P(T)}=f(x)$ pour relier les parties A et B.

• Résoudre l'inéquation $f(x)\geqslant 0{,}9$ en justifiant le signe du dénominateur, puis arrondir au centième.

• Argumenter la question 5. b) avec la croissance de $f$ établie en partie A.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.