Bac 2024, Centres étrangers : exercice 3

Question 1. Soit $y$ une fonction constante : il existe $k\in\mathbb{R}$ tel que $y(x)=k$ pour tout réel $x$.

Alors $y$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $y'(x)=0$ pour tout $x$.

La fonction $y$ est solution de $(E_0)$ : $y'=y$ si et seulement si, pour tout réel $x$, $0=k$.

Cela équivaut à $k=0$.

Donc l'unique fonction constante solution de $(E_0)$ est la fonction nulle.

Question 2. D'après le cours, les solutions de l'équation différentielle $y'=ay$ (ici $a=1$) sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions $x\mapsto C\mathrm{e}^{ax}$, avec $C\in\mathbb{R}$.

Donc les solutions de $(E_0)$ sont les fonctions

Réponse : $y(x)=C\mathrm{e}^{x}$, $C\in\mathbb{R}$.

Question 3. La fonction $h$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=2\cos x+\sin x$ et est dérivable sur $\mathbb{R}$.

On a, pour tout réel $x$ :

D'autre part :

On a donc $h'(x)=h(x)-\cos x-3\sin x$ pour tout réel $x$.

Donc la fonction $h$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.

Question 4. Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.

D'après la question 3, $h$ est solution de $(E)$, donc pour tout réel $x$ :

On raisonne par équivalences. On a

Comme $h'-\left(h-\cos x-3\sin x\right)=0$, on peut retrancher cette quantité nulle à la différence précédente :

Donc « $f$ est solution de $(E)$ » est équivalent à « $f-h$ est solution de $(E_0)$ ».

Question 5. Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$.

D'après la question 4, $f$ est solution de $(E)$ si et seulement si $f-h$ est solution de $(E_0)$.

D'après la question 2, cela équivaut à : il existe $C\in\mathbb{R}$ tel que, pour tout réel $x$, $f(x)-h(x)=C\mathrm{e}^{x}$.

C'est-à-dire $f(x)=C\mathrm{e}^{x}+2\cos x+\sin x$.

Donc les solutions de $(E)$ sont les fonctions

Réponse : $f(x)=C\mathrm{e}^{x}+2\cos x+\sin x$, $C\in\mathbb{R}$.

Question 6. D'après la question 5, une solution de $(E)$ s'écrit $g(x)=C\mathrm{e}^{x}+2\cos x+\sin x$ avec $C\in\mathbb{R}$.

On a

La condition $g(0)=0$ s'écrit $C+2=0$, donc $C=-2$.

Réciproquement, cette valeur de $C$ donne bien une solution de $(E)$ qui vérifie $g(0)=0$, et elle est unique puisque $C$ est déterminé.

Donc l'unique solution de $(E)$ telle que $g(0)=0$ est

Réponse : $g(x)=-2\mathrm{e}^{x}+2\cos x+\sin x$.

Question 7. La fonction à intégrer, $x\mapsto -2\mathrm{e}^{x}+\sin x+2\cos x$, est la fonction $g$ de la question 6. Elle est continue sur $\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$.

La fonction $G$ définie sur $\mathbb{R}$ par

est une primitive de $g$ : en effet, $G'(x)=-2\mathrm{e}^{x}+\sin x+2\cos x=g(x)$.

On a alors

Donc

Réponse : $5-2\mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}}$.

Points clés attendus

• Utiliser la forme des solutions de $y'=y$ (fonctions $C\mathrm{e}^{x}$).

• Vérifier qu'une fonction est solution en calculant sa dérivée et en comparant les deux membres de l'équation.

• Démontrer l'équivalence de la question 4 en exploitant que $h$ est solution de $(E)$, puis en déduire la forme générale des solutions de $(E)$.

• Déterminer la constante avec la condition $g(0)=0$.

• Reconnaître $g$ sous l'intégrale et calculer à l'aide d'une primitive $G$ : $\int_a^b g=G(b)-G(a)$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.