Bac 2024, Amérique du Nord : exercice 2

Question 1.

Dans le repère $\left(A\,;\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)$, on a $A(0\,;0\,;0)$, $I(1\,;0\,;0)$, $D(0\,;1\,;0)$ et $E(0\,;0\,;1)$.

Comme $\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AI}$, on a $B(3\,;0\,;0)$. Le pavé droit ABCDEFGH donne alors $C(3\,;1\,;0)$.

Les points $F$, $H$ et $M$ ont pour coordonnées

$M$ étant le milieu de $[CD]$.

Question 2. a)

On calcule deux vecteurs du plan $(HMF)$, coordonnée par coordonnée :

Ces vecteurs ne sont pas colinéaires : la deuxième coordonnée de $\overrightarrow{HM}$ est nulle alors que celle de $\overrightarrow{HF}$ ne l'est pas, et $\overrightarrow{HM}$ n'est pas le vecteur nul. Donc les points $H$, $M$, $F$ ne sont pas alignés et définissent bien un plan.

On calcule les produits scalaires avec $\vec{n}(2\,;6\,;3)$ :

Le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(HMF)$, donc il est orthogonal à tout vecteur de ce plan.

Donc $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $(HMF)$.

Question 2. b)

Comme $\vec{n}(2\,;6\,;3)$ est normal au plan $(HMF)$, une équation cartésienne de ce plan est de la forme

Le point $F(3\,;0\,;1)$ appartient au plan :

Une équation cartésienne de $(HMF)$ est donc

Vérification avec les deux autres points : pour $H(0\,;1\,;1)$, $0+6+3-9=0$   pour $M\left(\dfrac32\,;1\,;0\right)$, $3+6+0-9=0$.

Question 2. c)

Un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$ est $\vec{n'}(5\,;15\,;-3)$.

Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires. On compare les coordonnées de $\vec{n'}$ et de $\vec{n}(2\,;6\,;3)$ :

Les rapports ne sont pas tous égaux (la troisième coordonnée donne $-1\neq2{,}5$), donc $\vec{n}$ et $\vec{n'}$ ne sont pas colinéaires.

Donc le plan $\mathcal{P}$ n'est pas parallèle au plan $(HMF)$.

Question 3.

On a $D(0\,;1\,;0)$ et $G(3\,;1\,;1)$, donc

La droite $(DG)$ passe par $D(0\,;1\,;0)$ et a pour vecteur directeur $\overrightarrow{DG}$. Une représentation paramétrique de $(DG)$ est donc

On vérifie : $t=0$ donne $D$ et $t=1$ donne $G$.

Question 4.

Le point $N$ appartient à la fois à la droite $(DG)$ et au plan $(HMF)$. Ses coordonnées $(3t\,;1\,;t)$ vérifient donc l'équation du plan :

On reporte $t=\dfrac13$ dans la représentation paramétrique de $(DG)$ :

Donc le point d'intersection de la droite $(DG)$ et du plan $(HMF)$ est

Réponse : $N\left(1\,;1\,;\dfrac13\right)$.

Question 5.

Le projeté orthogonal de $G$ sur le plan $(HMF)$ est l'unique point $R'$ du plan tel que le vecteur $\overrightarrow{GR'}$ soit orthogonal au plan, c'est-à-dire colinéaire à un vecteur normal $\vec{n}$. Il faut donc vérifier deux conditions pour $R\left(3\,;\dfrac14\,;\dfrac12\right)$.

Condition 1 : $R$ appartient au plan.

Cette condition est vérifiée.

Condition 2 : $\overrightarrow{GR}$ est colinéaire à $\vec{n}$.

La première coordonnée de $\overrightarrow{GR}$ est nulle, alors que celle de $\vec{n}(2\,;6\,;3)$ ne l'est pas, et $\overrightarrow{GR}$ n'est pas le vecteur nul. Donc $\overrightarrow{GR}$ n'est pas colinéaire à $\vec{n}$.

La deuxième condition n'est pas vérifiée.

Donc $R$ n'est pas le projeté orthogonal du point $G$ sur le plan $(HMF)$.

Points clés attendus

• Question 2. a) : calculer $\overrightarrow{HM}$ et $\overrightarrow{HF}$, montrer leur non-colinéarité, puis les deux produits scalaires nuls avec $\vec{n}$.

• Question 2. b) : déterminer la constante avec un point du plan et vérifier avec les deux autres points.

• Question 2. c) : parallélisme de plans équivaut à la colinéarité des vecteurs normaux   la justifier par un rapport de coordonnées qui diffère.

• Question 4 : substituer la représentation paramétrique dans l'équation du plan, puis revenir aux coordonnées de $N$.

• Question 5 : le projeté orthogonal doit vérifier deux conditions (appartenir au plan et $\overrightarrow{GR}$ colinéaire à $\vec{n}$)   en montrer une qui échoue suffit pour répondre non.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.