Bac 2024, Centres étrangers : exercice 2

Question 1. a) Soit $x\in[0\,;1]$. On a

On résout la seconde équation :

On a $\ln 2\approx 0{,}693$, donc $\ln 2\in[0\,;1]$.

Donc l'ensemble des solutions de l'équation $f(x)=x$ sur $[0\,;1]$ est $\{0\,;\ln 2\}$.

Réponse : $\mathcal{S}=\{0\,;\ln 2\}$.

1. b) La fonction $f$ est le produit de $2u$ et de $v$ avec $u(x)=x$ et $v(x)=\mathrm{e}^{-x}$.

Les fonctions $u$ et $v$ sont dérivables sur $[0\,;1]$ avec $u'(x)=1$ et $v'(x)=-\mathrm{e}^{-x}$ (dérivée de $\mathrm{e}^{w}$ avec $w(x)=-x$, soit $w'\mathrm{e}^{w}$).

D'après la formule de dérivation d'un produit $(uv)'=u'v+uv'$, pour tout $x\in[0\,;1]$ :

Donc, pour tout $x\in[0\,;1]$, $f'(x)=2(1-x)\,\mathrm{e}^{-x}$.

1. c) Pour tout $x\in[0\,;1]$ :

• $\mathrm{e}^{-x}>0$

• $1-x\geqslant 0$, avec $1-x=0$ si et seulement si $x=1$.

Donc $f'(x)>0$ sur $[0\,;1[$ et $f'(1)=0$.

La dérivée est strictement positive sauf en un point isolé : la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0\,;1]$.

On calcule les valeurs aux bornes :

Tableau de variations : $f$ croît de $f(0)=0$ à $f(1)=\dfrac2{\mathrm{e}}$ sur $[0\,;1]$.

Question 2. a) Pour tout entier naturel $n$, on note $P(n)$ la propriété

Initialisation. On a $u_0=0{,}1$ et $u_1=f(0{,}1)=0{,}2\,\mathrm{e}^{-0{,}1}\approx 0{,}181$.

Donc $0\leqslant 0{,}1<0{,}181\leqslant 1$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire

Montrons $P(k+1)$ : $0\leqslant u_{k+1}<u_{k+2}\leqslant 1$.

Les réels $u_k$ et $u_{k+1}$ appartiennent à $[0\,;1]$, intervalle sur lequel $f$ est strictement croissante (question 1. c)).

• Comme $u_k<u_{k+1}$, on a $f(u_k)<f(u_{k+1})$, c'est-à-dire $u_{k+1}<u_{k+2}$.

• Comme $0\leqslant u_k$, on a $f(0)\leqslant f(u_k)$, c'est-à-dire $0\leqslant u_{k+1}$.

• Comme $u_{k+1}\leqslant 1$, on a $f(u_{k+1})\leqslant f(1)$, c'est-à-dire $u_{k+2}\leqslant\dfrac{2}{\mathrm{e}}$.

Or $\mathrm{e}>2$, donc $\dfrac{2}{\mathrm{e}}<1$, et ainsi $u_{k+2}\leqslant 1$.

On a donc $0\leqslant u_{k+1}<u_{k+2}\leqslant 1$ : $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$,

2. b) D'après la question 2. a), pour tout $n$, $u_n<u_{n+1}$ : la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

D'après la même question, pour tout $n$, $u_n\leqslant 1$ : la suite $(u_n)$ est majorée par $1$.

D'après le théorème de la limite monotone (toute suite croissante et majorée converge), la suite $(u_n)$ est convergente.

Question 3. Notons $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$, dont l'existence est assurée par la question 2. b).

Pour tout $n$, $0{,}1=u_0\leqslant u_n\leqslant 1$ (suite croissante, majorée par $1$). Par passage à la limite dans les inégalités larges, $0{,}1\leqslant\ell\leqslant 1$. En particulier $\ell\in[0\,;1]$.

La fonction $f$ est dérivable, donc continue, sur $[0\,;1]$.

On a $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $u_n\to\ell$, $\ell\in[0\,;1]$ et $f$ continue en $\ell$. Par continuité, $f(u_n)\to f(\ell)$.

Par unicité de la limite, $\ell=f(\ell)$.

D'après la question 1. a), $\ell=0$ ou $\ell=\ln 2$.

Or $\ell\geqslant 0{,}1$, donc $\ell\neq 0$.

Donc $\ell=\ln 2$ : la suite $(u_n)$ converge vers $\ln 2$.

Question 4. a) La suite $(u_n)$ est croissante et converge vers $\ln 2$.

Soit $n$ fixé. Pour tout entier $m\geqslant n$, $u_m\geqslant u_n$. En faisant tendre $m$ vers $+\infty$ (passage à la limite dans une inégalité large), on obtient $\ln 2\geqslant u_n$.

Donc, pour tout entier naturel $n$, $\ln 2-u_n\geqslant 0$ : cette différence est positive.

(On a même $\ln 2-u_n>0$ car $u_n<u_{n+1}\leqslant\ln 2$.)

4. b) On cherche à répéter le calcul du terme suivant tant que l'écart $\ln 2-u$ n'est pas inférieur ou égal à $10^{-4}$.

Comme $u_{n+1}=f(u_n)=2u_n\mathrm{e}^{-u_n}$, le script complété est le suivant.

def seuil():
    n = 0
    u = 0.1
    while ln(2) - u > 0.0001:
        n = n+1
        u = 2*u*exp(-u)
    return (u, n)

La condition est $\ln(2)-u>0.0001$ (l'opérateur >= conviendrait aussi ici) et l'instruction manquante est u = 2*u*exp(-u).

Comme $(u_n)$ est croissante, l'écart $\ln 2-u_n$ est décroissant : la boucle s'arrête dès que $u_n$ approche $\ln 2$ par défaut à $10^{-4}$ près. La fonction renvoie alors cette valeur approchée et le nombre $n$ d'étapes.

4. c) L'exécution de la fonction seuil() renvoie $u\approx 0{,}6931$ et $n=11$.

Donc la variable $n$ renvoyée vaut $11$ : $u_{11}$ est le premier terme de la suite tel que $\ln 2-u_n\leqslant 10^{-4}$.

Réponse : $n=11$.

Points clés attendus

• Dériver un produit avec $(uv)'=u'v+uv'$ et la dérivée de $\mathrm{e}^{-x}$.

• Rédiger la récurrence en trois temps, en citant la croissance de $f$ sur $[0\,;1]$ et en vérifiant que $\dfrac2{\mathrm{e}}\leqslant 1$.

• Citer le théorème de la limite monotone (suite croissante et majorée).

• Pour la limite : continuité de $f$, relation $\ell=f(\ell)$, puis élimination de $\ell=0$ grâce à $\ell\geqslant u_0=0{,}1$.

• Compléter le script (condition de la boucle et formule de récurrence) et donner la valeur de $n$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.