Bac 2024, Amérique du Sud : exercice 4

Partie 1

Question 1.

On calcule les coordonnées de deux vecteurs du plan (ABC) :

Ces vecteurs ne sont pas colinéaires : si l'on avait $\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AB}$, l'abscisse donnerait $\lambda=1$, ce qui contredit l'ordonnée ($0\neq 2$). Donc A, B et C ne sont pas alignés et définissent bien un plan.

On calcule les produits scalaires avec $\vec{n}(2\;;\;3\;;\;3)$ :

Le vecteur $\vec{n}$, non nul, est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) : donc $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan (ABC).

Question 2.

Comme $\vec{n}(2\;;\;3\;;\;3)$ est normal à (ABC), le plan (ABC) admet une équation cartésienne de la forme

Le point A$(3\;;\;0\;;\;0)$ appartient au plan, donc $2\times 3+0+0+d=0$, soit $d=-6$.

Donc une équation cartésienne du plan (ABC) est

Vérification avec les deux autres points : pour B$(0\;;\;2\;;\;0)$, $0+6+0-6=0$   pour C$(0\;;\;0\;;\;2)$, $0+0+6-6=0$.

Question 3.

Un point $M(x\;;\;y\;;\;z)$ appartient à $d$ si et seulement s'il existe un réel $t$ tel que $\overrightarrow{OM}=t\,\vec{n}$.

Donc une représentation paramétrique de $d$ est

Question 4.

Le point H appartient à $d$ et au plan (ABC). Ses coordonnées sont donc de la forme $(2t\;;\;3t\;;\;3t)$ et vérifient l'équation du plan :

On développe : $4t+9t+9t-6=0$, soit $22t=6$, donc $t=\dfrac{6}{22}=\dfrac3{11}$.

On reporte dans la représentation paramétrique de $d$ :

Donc H$\left(\dfrac6{11}\;;\;\dfrac9{11}\;;\;\dfrac9{11}\right)$.

Question 5.

Le point H appartient au plan (ABC) et la droite (OH), qui est la droite $d$, a pour vecteur directeur le vecteur normal $\vec{n}$ : elle est orthogonale au plan (ABC).

Donc H est le projeté orthogonal de O sur (ABC), et la distance de O au plan (ABC) est la longueur OH.

Le repère est orthonormé, donc

Comme $198=9\times 22$, on a $\sqrt{198}=3\sqrt{22}$.

Donc la distance du point O au plan (ABC) est

Partie 2

Question 1.

On prend pour base du tétraèdre OABC le triangle OBC. Ce triangle est rectangle en O, car le repère est orthonormé et O, B, C sont sur deux axes distincts. Son aire est

La hauteur relative à cette base est la distance de A au plan (OBC). Ce plan est le plan d'équation $x=0$, et la droite (OA) est l'axe des abscisses, qui lui est orthogonal. Donc la hauteur est $OA=3$.

D'après la formule $V=\dfrac13B\times h$,

Donc le volume du tétraèdre OABC est égal à $2$.

Question 2.

On prend maintenant pour base le triangle ABC, d'aire $\mathcal{A}_{ABC}$. D'après la partie 1, la hauteur relative à cette base est la distance de O au plan (ABC), soit $OH=\dfrac{3\sqrt{22}}{11}$.

D'après la formule du volume,

Comme $V=2$ d'après la question 1, on obtient

Donc l'aire du triangle ABC est égale à $\sqrt{22}$.

Question 3.

Les trois faces OAB, OAC et OBC sont des triangles rectangles en O, car les axes du repère sont deux à deux orthogonaux :

On calcule la somme des carrés de ces trois aires :

D'après la question 2, $\mathcal{A}_{ABC}^2=\left(\sqrt{22}\right)^2=22$.

Donc $\mathcal{A}_{ABC}^2=\mathcal{A}_{OAB}^2+\mathcal{A}_{OAC}^2+\mathcal{A}_{OBC}^2$ : pour le tétraèdre OABC, le carré de l'aire du triangle ABC est égal à la somme des carrés des aires des trois autres faces.

Points clés attendus

• Vecteur normal : deux vecteurs non colinéaires du plan, et produits scalaires nuls avec $\vec{n}$.

• Équation cartésienne : constante déterminée avec un point, puis vérification avec les deux autres.

• Point H : substitution de la représentation paramétrique de $d$ dans l'équation du plan, puis justification que $OH$ est la distance de O au plan (projeté orthogonal).

• Volume : choisir la base OBC (triangle rectangle de hauteur $OA$), puis réutiliser la formule $V=\dfrac13Bh$ avec la base ABC et la hauteur $OH$.

• Propriété finale : calculer les trois aires des faces rectangles en O et comparer $9+9+4$ au carré de $\sqrt{22}$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.