Bac 2025, Amérique du Nord : exercice 3

Affirmation 1. Vraie.

La droite $(d)$ passe par le point $D(3\,;-1\,;2)$ (valeurs obtenues pour $t=0$) et admet pour vecteur directeur $\vec{u}\,(-2\,;0\,;-6)$, colinéaire à $\vec{v}\,(1\,;0\,;3)$.

L'axe des ordonnées passe par l'origine $O$ et admet pour vecteur directeur $\vec{j}\,(0\,;1\,;0)$.

Les droites ne sont pas parallèles. Si $\vec{u}$ et $\vec{j}$ étaient colinéaires, il existerait un réel $k$ tel que $\vec{u}=k\vec{j}$, ce qui imposerait $-2=k\times 0=0$, ce qui est absurde. Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{j}$ ne sont pas colinéaires.

Les droites ne sont pas sécantes. Un point de l'axe des ordonnées a pour coordonnées $(0\,;y\,;0)$. Un point de $(d)$ de coordonnées $(3-2t\,;-1\,;2-6t)$ appartient à l'axe des ordonnées si et seulement si

La première équation donne $t=\dfrac32$. Avec cette valeur, $2-6t=2-9=-7\neq 0$. Le système n'a pas de solution : les deux droites n'ont aucun point commun.

Deux droites de l'espace qui ne sont ni parallèles ni sécantes ne sont pas coplanaires (deux droites coplanaires sont soit parallèles, soit sécantes).

Donc l'affirmation 1 est vraie : $(d)$ et l'axe des ordonnées sont non coplanaires.

Affirmation 2. Vraie.

Le plan cherché est orthogonal à la droite $(d)$ : un vecteur directeur de $(d)$ en est donc un vecteur normal. On peut prendre $\vec{u}\,(-2\,;0\,;-6)$, ou le vecteur colinéaire $\vec{n}\,(1\,;0\,;3)$.

Une équation cartésienne du plan est donc de la forme

Le point $A(3\,;-3\,;-2)$ appartient au plan, donc ses coordonnées vérifient l'équation :

Le plan passant par $A$ et orthogonal à $(d)$ a donc pour équation $x+3z+3=0$.

Vérification : $3+3\times(-2)+3=0$.

Donc l'affirmation 2 est vraie.

Affirmation 3. Fausse.

Le point $C$ appartient à $(d)$ et a pour abscisse $2$ : on résout $3-2t=2$, soit $t=\dfrac12$. Alors

donc $C(2\,;-1\,;-1)$.

On calcule les coordonnées des vecteurs, avec $A(3\,;-3\,;-2)$, $B(5\,;-4\,;-1)$ et $C(2\,;-1\,;-1)$ :

Produit scalaire :

Normes :

On utilise $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times\cos\widehat{BAC}$ :

L'angle géométrique $\widehat{BAC}$ appartient à $[0\,;\pi]$, et le seul angle de cet intervalle de cosinus $-\dfrac12$ est $\dfrac{2\pi}{3}$.

Or $\dfrac{2\pi}{3}\neq\dfrac{\pi}{6}$ (on a d'ailleurs $\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}>0$).

Donc l'affirmation 3 est fausse : une mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ est $\dfrac{2\pi}{3}$.

Affirmation 4. Vraie.

Le point $H$ est le projeté orthogonal de $B$ sur le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x+3z-7=0$, donc $BH$ est la distance de $B$ au plan $\mathcal{P}$.

Le plan $\mathcal{P}$ admet pour vecteur normal $\vec{n}\,(1\,;0\,;3)$ et la distance d'un point $B(x_B\,;y_B\,;z_B)$ au plan d'équation $ax+by+cz+d=0$ est

Avec $B(5\,;-4\,;-1)$ :

Donc l'affirmation 4 est vraie.

Points clés attendus

• Pour des droites non coplanaires, montrer à la fois la non-colinéarité des vecteurs directeurs et l'absence de point commun (système sans solution).

• Un vecteur directeur de $(d)$ est normal à un plan orthogonal à $(d)$   vérifier que $A$ satisfait l'équation obtenue.

• Pour l'angle, déterminer $C$, calculer le produit scalaire et les normes, puis conclure par la valeur du cosinus sur $[0\,;\pi]$.

• Citer la formule de distance d'un point à un plan et conclure sur chaque affirmation (vrai ou faux) par une phrase.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.