Bac 2024, Amérique du Sud : exercice 3

Partie 1

Question 1.

Limite en $-\infty$.

On a $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(x^2-4)=+\infty$.

On a $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(-x)=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{X\to+\infty}\mathrm{e}^{X}=+\infty$, donc, par limite d'une composée, $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\mathrm{e}^{-x}=+\infty$.

Par produit des limites,

Limite en $+\infty$.

Pour lever la forme indéterminée, on écrit pour tout réel $x$ :

Par croissances comparées, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^2\,\mathrm{e}^{-x}=0$ (car $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^2}{\mathrm{e}^{x}}=0$).

De plus $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\mathrm{e}^{-x}=0$, donc $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}4\,\mathrm{e}^{-x}=0$.

Par différence,

Donc $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$.

Réponse : $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$.

Question 2.

La fonction $f$ est de la forme $uv$ avec $u(x)=x^2-4$ et $v(x)=\mathrm{e}^{-x}$.

On a $u'(x)=2x$ et $v'(x)=-\mathrm{e}^{-x}$.

D'après la formule $(uv)'=u'v+uv'$, pour tout réel $x$,

Donc, pour tout réel $x$,

Question 3.

Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{-x}>0$. Donc $f'(x)$ a le même signe que le trinôme $-x^2+2x+4$.

Son discriminant est $\Delta=2^2-4\times(-1)\times 4=4+16=20>0$, donc il admet deux racines réelles :

On a $1-\sqrt5<1+\sqrt5$. Le coefficient de $x^2$ est $-1<0$, donc le trinôme est strictement positif entre les racines et strictement négatif à l'extérieur.

On en déduit le signe de $f'$ et les variations de $f$ :

• sur $]-\infty\;;\;1-\sqrt5[$, $f'(x)<0$, donc $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty\;;\;1-\sqrt5]$

• sur $]1-\sqrt5\;;\;1+\sqrt5[$, $f'(x)>0$, donc $f$ est strictement croissante sur $[1-\sqrt5\;;\;1+\sqrt5]$

• sur $]1+\sqrt5\;;\;+\infty[$, $f'(x)<0$, donc $f$ est strictement décroissante sur $[1+\sqrt5\;;\;+\infty[$.

Donc $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty\;;\;1-\sqrt5]$, strictement croissante sur $[1-\sqrt5\;;\;1+\sqrt5]$, puis strictement décroissante sur $[1+\sqrt5\;;\;+\infty[$.

Partie 2

Question 1.

On a $I_0=\displaystyle\int_{-2}^0x^0\,\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x=\int_{-2}^0\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x$.

Une primitive de $x\mapsto\mathrm{e}^{-x}$ est $x\mapsto-\mathrm{e}^{-x}$, donc

Donc $I_0=\mathrm{e}^2-1$.

Question 2.

On effectue une intégration par parties dans $I_{n+1}=\displaystyle\int_{-2}^0x^{n+1}\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x$ avec

Les fonctions $u$ et $v$ sont de classe $C^1$ sur $[-2\;;\;0]$.

D'après la formule d'intégration par parties,

On calcule le crochet :

L'intégrale restante est $I_n$. Donc, pour tout entier naturel $n$,

Question 3.

On applique la relation de la question 2.

Pour $n=0$ :

Pour $n=1$ :

Donc $I_1=-\mathrm{e}^2-1$ et $I_2=2\mathrm{e}^2-2$.

Réponse : $I_1=-\mathrm{e}^2-1$ et $I_2=2\mathrm{e}^2-2$.

Partie 3

Question 1.

Pour tout réel $x$, $f(x)=(x-2)(x+2)\,\mathrm{e}^{-x}$ et $\mathrm{e}^{-x}>0$. Donc $f(x)$ a le même signe que $(x-2)(x+2)=x^2-4$.

Le trinôme $x^2-4$ a pour racines $-2$ et $2$ et son coefficient dominant est positif. Donc :

• $f(x)>0$ pour $x\in]-\infty\;;\;-2[\,\cup\,]2\;;\;+\infty[$

• $f(x)<0$ pour $x\in]-2\;;\;2[$

• $f(-2)=f(2)=0$.

Question 2.

Le domaine $D$ est délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées, pour $x$ compris entre $-2$ et $0$.

D'après la question 1, $f(x)\leqslant 0$ sur $[-2\;;\;0]$ : la courbe est située sous l'axe des abscisses. L'aire de $D$ est donc l'opposé de l'intégrale de $f$ :

On a $f(x)=x^2\mathrm{e}^{-x}-4\,\mathrm{e}^{-x}$, donc par linéarité de l'intégrale

Donc

Donc l'aire du domaine $D$ est $2\mathrm{e}^2-2$ unités d'aire, soit environ $12{,}78$.

Réponse : $S=2\mathrm{e}^2-2\approx 12{,}78$ unités d'aire.

Points clés attendus

• Limite en $+\infty$ : développer pour utiliser les croissances comparées et lever la forme indéterminée.

• Dérivée d'un produit, puis signe de $f'$ par le signe du trinôme (discriminant, racines, signe du coefficient dominant), le facteur $\mathrm{e}^{-x}$ étant strictement positif.

• Intégration par parties : choix de $u$ et $v'$, régularité $C^1$, calcul exact du crochet avec $(-2)^{n+1}$.

• Utilisation de la relation de récurrence pour $I_1$ puis $I_2$.

• Aire : justifier le signe de $f$ sur $[-2\;;\;0]$ pour passer de l'intégrale à l'aire (opposé de l'intégrale), puis exprimer l'intégrale avec $I_2$ et $I_0$.

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