Bac 2024, Amérique du Sud : exercice 2

Partie 1

Pour les affirmations 1 à 3, on introduit la suite $(v_n)$ définie par $v_n=u_n-3$ pour tout entier naturel $n$.

Pour tout entier naturel $n$,

De plus $v_0=u_0-3=10-3=7$.

Donc $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac13$ et de premier terme $7$, et pour tout $n$,

Affirmation 1. VRAI.

La suite $(u_n)$ est minorée par $0$. Pour tout $n$, $\left(\dfrac13\right)^n>0$, donc $u_n=3+7\left(\dfrac13\right)^n>3>0$.

La suite $(u_n)$ est décroissante. Pour tout $n$,

Comme $v_n=7\left(\dfrac13\right)^n>0$, on obtient $u_{n+1}-u_n<0$.

Donc l'affirmation 1 est vraie : la suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par $0$.

Affirmation 2. FAUX.

Comme $0<\dfrac13<1$, on a $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac13\right)^n=0$.

Donc, par somme et produit par une constante,

La limite de $(u_n)$ est $3$ et non $0$. On peut aussi remarquer que $u_n>3$ pour tout $n$ : la limite ne peut pas être $0$.

Donc l'affirmation 2 est fausse : $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=3$.

Affirmation 3. VRAI.

D'après le calcul ci-dessus, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=\dfrac13v_n$.

Donc l'affirmation 3 est vraie : la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac13$ (et de premier terme $v_0=7$).

Partie 2

Affirmation 4. VRAI.

Soit $y$ la fonction constante égale à $c$ sur $\mathbb{R}$. Sa dérivée est la fonction nulle.

La fonction $y$ est solution de $(E)$ si et seulement si, pour tout réel $x$,

c'est-à-dire $c=-\dfrac43$.

Donc l'affirmation 4 est vraie : la fonction constante $x\mapsto-\dfrac43$ est solution de $(E)$.

Affirmation 5. VRAI.

L'équation $(E)$ s'écrit $y'=\dfrac32y+2$. D'après le cours, ses solutions sont la somme de la solution particulière constante $-\dfrac43$ (affirmation 4) et des solutions de $y'=\dfrac32y$, c'est-à-dire

La condition $f(0)=0$ donne $C-\dfrac43=0$, donc $C=\dfrac43$ et

Le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $1$ est $f'(1)$.

Comme $f$ est solution de $(E)$, on a $f'(1)=\dfrac32f(1)+2$, avec $f(1)=\dfrac43\left(\mathrm{e}^{\frac32}-1\right)$. Donc

Donc l'affirmation 5 est vraie : le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $1$ est $2\,\mathrm{e}^{\frac32}$.

Points clés attendus

• Introduire la suite auxiliaire $v_n=u_n-3$, montrer qu'elle est géométrique et en déduire l'expression de $u_n$.

• Affirmation 1 : justifier à la fois la décroissance (signe de $u_{n+1}-u_n$) et le minorant.

• Affirmation 2 : limite d'une suite géométrique de raison comprise entre $0$ et $1$, puis limite de $(u_n)$.

• Affirmation 4 : chercher une solution constante en annulant la dérivée.

• Affirmation 5 : forme générale des solutions de $y'=ay+b$, détermination de $C$ avec $f(0)=0$, et lecture du coefficient directeur par $f'(1)$.

• Chaque affirmation doit commencer par VRAI ou FAUX, puis être justifiée.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.