Terminale Spé Maths / Chapitre 12 : Succession d'épreuves et loi binomiale / Annales du bac

Bac 2024, Amérique du Sud : exercice 1

22 novembre 2024 · jour 2 · 5 points Python

Chapitre 12 : Succession d'épreuves et loi binomiale

Voici la répartition des principaux groupes sanguins des habitants de France:

Figure de l'énoncé, exercice 1, Amérique du Sud 22 novembre 2024

Source : https://fr.statista.com!statistiques/6 56036/ groupes-sanguins-repartition-rh- france/

A+, O+, B+, A $-$ , O $-$ , AB+, B $-$ et AB $-$ sont les différents groupes sanguins combinés aux rhésus.

Par exemple: A + est le groupe sanguin A de rhésus +.

Une expérience aléatoire consiste à choisir une personne au hasard dans la population française et à déterminer son groupe sanguin et son rhésus.

Dans l'exercice, on adopte les notations du type :

$A$ + est l'évènement « la personne est de groupe sanguin A et de rhésus + »

$A -$ est l'évènement « la personne est de groupe sanguin A et de rhésus $-$ »

$A$ est l'évènement « la personne est de groupe sanguin A »

Les parties 1 et 2 sont indépendantes.

Partie 1

On note $Rh$ + l'évènement « La personne est de rhésus positif ».

Justifier que la probabilité que la personne choisie soit de rhésus positif est égale à 0,849.
Démontrer à l'aide des données de l'énoncé que $P_{Rh+}(A) = 0,450$ à 0,001 près.
Une personne se souvient que son groupe sanguin est AB mais a oublié son rhésus.

Quelle est la probabilité que son rhésus soit négatif ? Arrondir le résultat à 0,001 près.

Partie 2

Dans cette partie, les résultats seront arrondis à $0,001$ près.

Un donneur universel de sang est une personne de groupe sanguin O et de rhésus négatif. On rappelle que 6,5 % de la population française est de groupe O $-$ .

On considère $50$ personnes choisies au hasard dans la population française et on note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de donneurs universels.
1. Déterminer la probabilité que 8 personnes soient des donneurs universels. Justifier votre réponse.
2. On considère la fonction ci-dessous nommée proba d'argument k écrite en langage Python.
```
def proba(k):
     p=0
     for i in range(k+1):
          p = p + binomiale(i,50,0.065)
     return p
```
  Cette fonction utilise la fonction binomiale d'argument $i, n$ et $p$ , créée pour l'occasion, qui renvoie la valeur de la probabilité $P(X = i)$ dans le cas où $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ .
  
  Déterminer la valeur numérique renvoyée par la fonction proba lorsqu'on saisit proba(8) dans la console Python. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
Quel est le nombre minimal de personnes à choisir au hasard dans la population française pour que la probabilité qu'au moins une des personnes choisies soit donneur universel, soit supérieure à $0,999$ .

Voir le corrigé

Partie 1

Les données de l'histogramme, converties en probabilités, sont :

$P(A+)=0{,}382$   $P(O+)=0{,}365$   $P(B+)=0{,}077$   $P(AB+)=0{,}025$
$P(A-)=0{,}068$   $P(O-)=0{,}065$   $P(B-)=0{,}014$   $P(AB-)=0{,}004$ .

Question 1.

L'évènement $Rh+$ est la réunion des quatre évènements $A+$ , $O+$ , $B+$ et $AB+$ .

Ces quatre évènements sont deux à deux incompatibles, car une personne a un seul groupe sanguin.

Donc

P(Rh+)=P(A+)+P(O+)+P(B+)+P(AB+)=0{,}382+0{,}365+0{,}077+0{,}025=0{,}849.

Donc la probabilité que la personne choisie soit de rhésus positif est égale à $0{,}849$ .

Question 2.

L'évènement $A\cap Rh+$ est l'évènement $A+$ : « la personne est de groupe A et de rhésus $+$ ».

D'après la définition de la probabilité conditionnelle (avec $P(Rh+)=0{,}849\neq 0$ ),

P_{Rh+}(A)=\dfrac{P(A\cap Rh+)}{P(Rh+)}=\dfrac{P(A+)}{P(Rh+)}=\dfrac{0{,}382}{0{,}849}\approx 0{,}4499.

À $0{,}001$ près, on obtient $0{,}450$ .

Donc $P_{Rh+}(A)=0{,}450$ à $0{,}001$ près.

Question 3.

L'évènement $AB$ est la réunion des évènements incompatibles $AB+$ et $AB-$ :

P(AB)=P(AB+)+P(AB-)=0{,}025+0{,}004=0{,}029.

On cherche la probabilité que le rhésus soit négatif sachant que le groupe est AB, avec $AB\cap Rh-=AB-$ :

P_{AB}(Rh-)=\dfrac{P(AB\cap Rh-)}{P(AB)}=\dfrac{P(AB-)}{P(AB)}=\dfrac{0{,}004}{0{,}029}\approx 0{,}138.

Donc la probabilité que le rhésus de cette personne soit négatif est environ $0{,}138$ (arrondie à $0{,}001$ près).

Réponse : $P_{AB}(Rh-)=\dfrac{4}{29}\approx 0{,}138$ .

Partie 2

Question 1. a)

Choisir une personne au hasard et regarder si elle est donneur universel (groupe O $-$ ) est une épreuve de Bernoulli, dont le succès a pour probabilité $p=0{,}065$ .

On choisit $50$ personnes au hasard dans la population française : ces $50$ épreuves sont identiques et indépendantes (la population étant très grande, on assimile ce choix à des tirages avec remise).

La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès, donc $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(50\;;\;0{,}065)$ .

Alors

P(X=8)=\binom{50}{8}\times 0{,}065^{8}\times(1-0{,}065)^{42}=\binom{50}{8}\times 0{,}065^{8}\times 0{,}935^{42}\approx 0{,}010.

Donc la probabilité que $8$ personnes parmi les $50$ soient des donneurs universels est environ $0{,}010$ (arrondie à $0{,}001$ près).

Réponse : $P(X=8)\approx 0{,}010$ .

Question 1. b)

La fonction proba initialise p à $0$ , puis, pour i allant de $0$ à k, ajoute à p la valeur $P(X=i)$ .

Elle renvoie donc

\sum_{i=0}^{k}P(X=i)=P(X\leqslant k).

Pour k = 8, la valeur renvoyée est

P(X\leqslant 8)=\sum_{i=0}^{8}P(X=i)\approx 0{,}995.

Interprétation : la probabilité que, parmi $50$ personnes choisies au hasard, il y ait au plus $8$ donneurs universels est environ $0{,}995$ .

Réponse : proba(8) renvoie $P(X\leqslant 8)\approx 0{,}995$ .

Question 2.

Soit $n$ le nombre de personnes choisies. Le nombre $Y$ de donneurs universels parmi elles suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n\;;\;0{,}065)$ , pour la même raison qu'à la question 1. a).

La probabilité qu'au moins une personne soit donneur universel est

P(Y\geqslant 1)=1-P(Y=0)=1-0{,}935^n.

On cherche le plus petit entier $n$ tel que $1-0{,}935^n>0{,}999$ , soit

0{,}935^n<0{,}001.

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\;;\;+\infty[$ :

n\ln(0{,}935)<\ln(0{,}001).

Comme $0{,}935<1$ , on a $\ln(0{,}935)<0$ . On divise par ce nombre strictement négatif, ce qui change le sens de l'inégalité :

n>\dfrac{\ln(0{,}001)}{\ln(0{,}935)}\approx 102{,}78.

Le plus petit entier strictement supérieur à $102{,}78$ est $103$ .

Vérification : $1-0{,}935^{102}\approx 0{,}99895<0{,}999$ et $1-0{,}935^{103}\approx 0{,}99901>0{,}999$ .

Donc il faut choisir au minimum $103$ personnes pour que la probabilité qu'au moins l'une d'elles soit donneur universel dépasse $0{,}999$ .

Réponse : $n=103$ .

Points clés attendus

Traduire l'histogramme en probabilités et additionner des évènements incompatibles pour $P(Rh+)$ et $P(AB)$ .
Utiliser la définition de la probabilité conditionnelle avec les intersections correctement identifiées ( $A\cap Rh+=A+$ , $AB\cap Rh-=AB-$ ).
Justifier la loi binomiale : épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, paramètres $n=50$ et $p=0{,}065$ .
Reconnaître que la fonction Python calcule une somme de probabilités, donc $P(X\leqslant 8)$ , et l'interpréter.
Résoudre $0{,}935^n<0{,}001$ avec $\ln$ , en changeant le sens de l'inégalité car $\ln(0{,}935)<0$ .

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.

Comment t'entraîner

Chronomètre-toi, rédige sur papier comme le jour du bac, puis seulement après regarde le cours. Si tu bloques sur une question, écris « on admet que… » et passe à la suivante.

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Chapitre 12 : Succession d'épreuves et loi binomiale : le cours · exercices type bac corrigés

Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2024 (Amérique du Sud, 22 novembre 2024 (jour 2)), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (Denis Vergès et François Hache) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

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