Terminale Spé Maths / Chapitre 12 : Succession d'épreuves et loi binomiale / Annales du bac

Bac 2024, Amérique du Nord : exercice 1

22 mai 2024 · jour 2 · 5 points

Chapitre 12 : Succession d'épreuves et loi binomiale

Les données publiées le 1^er mars 2023 par le ministère de la transition écologique sur les immatriculations de véhicules particuliers en France en 2022 contiennent les informations suivantes :

$22,86\,\%$ des véhicules étaient des véhicules neufs
$8,08\,\%$ des véhicules neufs étaient des hybrides rechargeables
$1,27\,\%$ des véhicules d'occasion (c'est-à-dire qui ne sont pas neufs) étaient des hybrides rechargeables.

Dans tout l'exercice, les probabilités seront arrondies au dix-millième.

Partie A

Dans cette partie, on considère un véhicule particulier immatriculé en France en 2022.

On note :

$N$ l'évènement « le véhicule est neuf »
$R$ l'évènement « le véhicule est hybride rechargeable »
$\overline{N}$ et $\overline{R}$ les évènements contraires des évènements contraires de $N$ et $R$ .

Représenter la situation par un arbre pondéré.
Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf et hybride rechargeable.
Démontrer que la valeur arrondie au dix-millième de la probabilité que ce véhicule soit hybride rechargeable est 0,0283.
Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf sachant qu'il est hybride rechargeable.

Partie B

Dans cette partie, on choisit $500$ véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022.

Dans la suite, on admettra que la probabilité qu'un tel véhicule soit neuf est égale à $0,65$ .

On assimile le choix de ces 500 véhicules à un tirage aléatoire avec remise.

On appelle $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de véhicules neufs parmi les $500$ véhicules choisis.

On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser la valeur de ses paramètres.
Déterminer la probabilité qu'exactement $325$ de ces véhicules soient neufs.
Déterminer la probabilité $p(X \geqslant 325)$ puis interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie C

On choisit désormais $n$ véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022, où $n$ désigne un entier naturel strictement positif.

On rappelle que la probabilité qu'un tel véhicule soit neuf est égale à $0,65$ .

On assimile le choix de ces $n$ véhicules à un tirage aléatoire avec remise.

Donner l'expression en fonction de $n$ de la probabilité $p_{n}$ que tous ces véhicules soient d'occasion.
On note $q_{n}$ la probabilité qu'au moins un de ces véhicules soit neuf. En résolvant une inéquation, déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $q_{n} \geqslant 0,9999$ .

Voir le corrigé

Partie A

Question 1.

On traduit les données de l'énoncé en probabilités :

P(N)=0{,}2286,\qquad P_N(R)=0{,}0808,\qquad P_{\overline{N}}(R)=0{,}0127.

Les évènements $N$ et $\overline{N}$ sont contraires, donc

P(\overline{N})=1-0{,}2286=0{,}7714.

La somme des poids des branches issues d'un même nœud vaut $1$ :

P_N(\overline{R})=1-0{,}0808=0{,}9192,\qquad P_{\overline{N}}(\overline{R})=1-0{,}0127=0{,}9873.

L'arbre pondéré se construit ainsi :

du départ partent deux branches : $N$ de poids $0{,}2286$ et $\overline{N}$ de poids $0{,}7714$
de $N$ partent deux branches : $R$ de poids $0{,}0808$ et $\overline{R}$ de poids $0{,}9192$
de $\overline{N}$ partent deux branches : $R$ de poids $0{,}0127$ et $\overline{R}$ de poids $0{,}9873$ .

Question 2.

L'évènement « le véhicule est neuf et hybride rechargeable » est $N\cap R$ . D'après la formule des probabilités conditionnelles :

P(N\cap R)=P(N)\times P_N(R)=0{,}2286\times0{,}0808=0{,}01847088.

Donc la probabilité que ce véhicule soit neuf et hybride rechargeable est $0{,}01847088$ , soit environ $0{,}0185$ au dix-millième.

Réponse : $P(N\cap R)=0{,}01847088\approx0{,}0185$ .

Question 3.

Les évènements $N$ et $\overline{N}$ forment une partition de l'univers : ils sont incompatibles et leur réunion est l'univers entier, avec des probabilités non nulles.

D'après la formule des probabilités totales :

P(R)=P(N\cap R)+P(\overline{N}\cap R).

On calcule le second terme :

P(\overline{N}\cap R)=P(\overline{N})\times P_{\overline{N}}(R)=0{,}7714\times0{,}0127=0{,}00979678.

On en déduit

P(R)=0{,}01847088+0{,}00979678=0{,}02826766.

Or $0{,}02826766$ est compris entre $0{,}02825$ et $0{,}02835$ , donc sa valeur arrondie au dix-millième est $0{,}0283$ .

Donc la probabilité que ce véhicule soit hybride rechargeable vaut $0{,}02826766$ , soit $0{,}0283$ arrondie au dix-millième.

Question 4.

On cherche la probabilité que le véhicule soit neuf sachant qu'il est hybride rechargeable, c'est-à-dire $P_R(N)$ . Comme $P(R)\neq0$ :

P_R(N)=\dfrac{P(R\cap N)}{P(R)}=\dfrac{0{,}01847088}{0{,}02826766}\approx0{,}6534.

Donc, sachant que le véhicule est hybride rechargeable, la probabilité qu'il soit neuf est environ $0{,}6534$ (arrondie au dix-millième).

Réponse : $P_R(N)\approx0{,}6534$ .

Partie B

Question 1.

Le choix d'un véhicule hybride rechargeable est une épreuve de Bernoulli de succès « le véhicule est neuf », de probabilité $p=0{,}65$ .

On choisit $500$ véhicules avec remise : on répète $500$ fois cette épreuve de façon identique et indépendante. La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès.

Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=500$ et $p=0{,}65$ .

Réponse : $X\sim\mathcal{B}(500\,;0{,}65)$ .

Question 2.

La loi de $X$ est binomiale, donc

P(X=325)=\binom{500}{325}\times0{,}65^{325}\times0{,}35^{175}.

À la calculatrice, on obtient

P(X=325)\approx0{,}0374.

Donc la probabilité qu'exactement $325$ des $500$ véhicules soient neufs est environ $0{,}0374$ (arrondie au dix-millième).

Réponse : $P(X=325)\approx0{,}0374$ .

Question 3.

On a $P(X\geqslant325)=1-P(X\leqslant324)$ . À la calculatrice,

P(X\geqslant325)\approx0{,}5206.

Interprétation : parmi $500$ véhicules hybrides rechargeables choisis, la probabilité qu'au moins $325$ soient neufs est environ $0{,}5206$ , soit un peu plus d'une chance sur deux. On remarque que $325=500\times0{,}65$ est l'espérance de $X$ .

Réponse : $P(X\geqslant325)\approx0{,}5206$ .

Partie C

Question 1.

Un véhicule hybride rechargeable est d'occasion avec la probabilité $1-0{,}65=0{,}35$ .

Les $n$ choix sont indépendants (tirage avec remise), donc la probabilité que les $n$ véhicules soient tous d'occasion est

p_n=0{,}35^n.

Réponse : $p_n=0{,}35^n$ .

Question 2.

L'évènement « au moins un des $n$ véhicules est neuf » est le contraire de l'évènement « les $n$ véhicules sont tous d'occasion ». Donc

q_n=1-p_n=1-0{,}35^n.

On résout l'inéquation :

q_n\geqslant0{,}9999\iff1-0{,}35^n\geqslant0{,}9999\iff0{,}35^n\leqslant0{,}0001.

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$ , donc

0{,}35^n\leqslant0{,}0001\iff n\ln(0{,}35)\leqslant\ln(0{,}0001).

Comme $0<0{,}35<1$ , on a $\ln(0{,}35)<0$ . Diviser par ce nombre négatif change le sens de l'inégalité :

n\geqslant\dfrac{\ln(0{,}0001)}{\ln(0{,}35)}.

À la calculatrice, $\dfrac{\ln(0{,}0001)}{\ln(0{,}35)}\approx8{,}77$ . Le plus petit entier $n$ vérifiant cette inégalité est donc $9$ .

Vérification : $q_8\approx0{,}99977<0{,}9999$ et $q_9\approx0{,}99992\geqslant0{,}9999$ .

Donc la plus petite valeur de $n$ telle que $q_n\geqslant0{,}9999$ est $9$ .

Réponse : $n=9$ .

Points clés attendus

Traduire les pourcentages en probabilités conditionnelles, sans confondre $P_N(R)$ , $P_{\overline{N}}(R)$ et $P(R)$ .
Citer la formule des probabilités totales avec la partition $\{N\,;\overline{N}\}$ et donner la valeur exacte avant l'arrondi demandé au dix-millième.
Question A.3 : démontrer l'arrondi en calculant $P(R)$ avec toutes ses décimales, puis en l'encadrant.
Justifier la loi binomiale (épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes grâce au tirage avec remise) et préciser $n$ et $p$ .
Partie C : passer par l'évènement contraire pour « au moins un » et justifier le changement de sens de l'inégalité en divisant par $\ln(0{,}35)<0$ .

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.

Comment t'entraîner

Chronomètre-toi, rédige sur papier comme le jour du bac, puis seulement après regarde le cours. Si tu bloques sur une question, écris « on admet que… » et passe à la suivante.

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Revoir le cours

Chapitre 12 : Succession d'épreuves et loi binomiale : le cours · exercices type bac corrigés

Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2024 (Amérique du Nord, 22 mai 2024 (jour 2)), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (Denis Vergès et François Hache) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

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