Bac 2024, Amérique du Nord : exercice 1

Partie A

Question 1.

On traduit les données de l'énoncé en probabilités :

Les évènements $R$ et $\overline{R}$ sont contraires, donc

De même, la somme des poids des branches issues d'un même nœud vaut $1$ :

L'arbre pondéré se construit ainsi :

• du départ partent deux branches : $R$ de poids $0{,}07$ et $\overline{R}$ de poids $0{,}93$

• de $R$ partent deux branches : $E$ de poids $0{,}8$ et $\overline{E}$ de poids $0{,}2$

• de $\overline{R}$ partent deux branches : $E$ de poids $0{,}4$ et $\overline{E}$ de poids $0{,}6$.

L'évènement $R\cap E$ correspond au chemin $R$ puis $E$. D'après la formule des probabilités conditionnelles :

Donc la probabilité de tirer un objet rare qui est une épée est $0{,}056$.

Réponse : $P(R\cap E)=0{,}056$.

Question 2.

Les évènements $R$ et $\overline{R}$ forment une partition de l'univers : ils sont incompatibles et leur réunion est l'univers entier, avec $P(R)\neq 0$ et $P(\overline{R})\neq 0$.

D'après la formule des probabilités totales :

On calcule le second terme :

On en déduit

Donc la probabilité de tirer une épée est $0{,}428$.

Réponse : $P(E)=0{,}428$.

Question 3.

On cherche la probabilité que l'objet soit rare sachant que c'est une épée, c'est-à-dire $P_E(R)$. Comme $P(E)=0{,}428\neq 0$, la définition de la probabilité conditionnelle s'applique :

Donc, sachant que le joueur a tiré une épée, la probabilité que ce soit un objet rare est environ $0{,}131$ (arrondie au millième).

Réponse : $P_E(R)=\dfrac{0{,}056}{0{,}428}\approx 0{,}131$.

Partie B

Question 1.

Chaque défi remporté donne lieu à un tirage au sort, qui n'a que deux issues : l'objet est rare (succès) avec la probabilité $p=0{,}07$, ou il ne l'est pas.

Cette épreuve est donc une épreuve de Bernoulli de paramètre $0{,}07$.

Le joueur remporte $30$ défis, donc on répète $30$ fois cette épreuve, avec les mêmes probabilités à chaque fois, et les tirages sont considérés comme indépendants d'après l'énoncé.

La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès dans cette répétition de $30$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=30$ et $p=0{,}07$.

Son espérance est

Donc $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(30\,;0{,}07)$ et, en moyenne, le joueur obtient $2{,}1$ objets rares sur $30$ défis.

Réponse : $X\sim\mathcal{B}(30\,;0{,}07)$ et $E(X)=2{,}1$.

Question 2.

$X$ prend des valeurs entières, donc l'évènement $\{X<6\}$ est égal à l'évènement $\{X\leqslant 5\}$ :

À la calculatrice, avec la loi binomiale de paramètres $30$ et $0{,}07$, on obtient

Donc la probabilité que le joueur obtienne strictement moins de $6$ objets rares est environ $0{,}984$ (arrondie au millième).

Réponse : $P(X<6)\approx 0{,}984$.

Question 3.

Pour tout entier $k$, on a $P(X\geqslant k+1)=P(X\geqslant k)-P(X=k)\leqslant P(X\geqslant k)$ : la fonction $k\mapsto P(X\geqslant k)$ est donc décroissante. Il suffit alors de repérer le dernier entier pour lequel elle reste supérieure ou égale à $0{,}5$.

À la calculatrice, on calcule $P(X\geqslant k)=1-P(X\leqslant k-1)$ pour les premières valeurs de $k$ :

On a $P(X\geqslant 2)\geqslant 0{,}5$ et $P(X\geqslant 3)<0{,}5$. Par décroissance, $P(X\geqslant k)<0{,}5$ pour tout $k\geqslant 3$.

Donc la plus grande valeur de $k$ telle que $P(X\geqslant k)\geqslant 0{,}5$ est $k=2$.

Interprétation : en remportant $30$ défis, le joueur a plus d'une chance sur deux d'obtenir au moins $2$ objets rares, mais moins d'une chance sur deux d'en obtenir au moins $3$.

Réponse : $k=2$.

Question 4.

On répète $N$ fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli dont la probabilité de succès « tirer un objet rare » est $0{,}07$. La probabilité d'un échec est donc $0{,}93$.

L'évènement « obtenir au moins un objet rare » est le contraire de l'évènement « n'obtenir aucun objet rare », dont la probabilité est $0{,}93^N$ par indépendance des tirages. La probabilité d'obtenir au moins un objet rare est donc

On cherche le plus petit entier $N$ tel que $1-0{,}93^N\geqslant 0{,}95$. On résout cette inéquation :

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$, donc elle conserve l'ordre :

Comme $0<0{,}93<1$, on a $\ln(0{,}93)<0$. Diviser par ce nombre négatif change le sens de l'inégalité :

À la calculatrice, $\dfrac{\ln(0{,}05)}{\ln(0{,}93)}\approx 41{,}28$. Le plus petit entier $N$ vérifiant cette inégalité est donc $42$.

Vérification : $1-0{,}93^{41}\approx 0{,}9490<0{,}95$ et $1-0{,}93^{42}\approx 0{,}9525\geqslant 0{,}95$.

Donc il faut tirer au minimum $42$ objets pour que la probabilité d'obtenir au moins un objet rare soit supérieure ou égale à $0{,}95$.

Réponse : $N=42$.

Points clés attendus

• Traduire les données en probabilités ($P(R)$, $P_R(E)$, $P_{\overline{R}}(E)$) et nommer la formule des probabilités totales en citant la partition $\{R\,;\overline{R}\}$.

• Distinguer $P(R\cap E)$ de $P_E(R)$ : la probabilité conditionnelle se calcule en divisant par $P(E)$.

• Justifier la loi binomiale : répétition de $30$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, avec $n$ et $p$ précisés.

• Passer par l'évènement contraire pour « au moins un » et justifier le changement de sens de l'inégalité en divisant par $\ln(0{,}93)<0$.

• Conclure sur le contexte (nombre minimum d'objets à tirer) après avoir vérifié les entiers $41$ et $42$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.