Bac 2024, Amérique du Nord : exercice 3

Question 1.

La fonction $g$ est un polynôme, donc dérivable sur $[0\,;1]$, et pour tout $x\in[0\,;1]$ :

Pour $x\in[0\,;1[$, on a $1-x>0$, donc $g'(x)>0$. De plus $g'(1)=0$, mais la dérivée ne s'annule qu'en un seul point isolé de l'intervalle.

Donc $g$ est strictement croissante sur $[0\,;1]$.

On calcule les valeurs aux bornes :

Donc $g$ est strictement croissante sur $[0\,;1]$, avec $g(0)=0$ et $g(1)=1$.

Question 2.

On a $u_0=\dfrac12$, donc

Puis

Donc $u_1=\dfrac34$ et $u_2=\dfrac{15}{16}$.

Réponse : $u_1=\dfrac34$ et $u_2=\dfrac{15}{16}$.

Question 3.

Pour tout entier naturel $n$, on pose la propriété $P(n)$ : « $0<u_n<u_{n+1}<1$ ».

Initialisation. On a $u_0=\dfrac12$ et $u_1=\dfrac34$, donc $0<\dfrac12<\dfrac34<1$, c'est-à-dire $0<u_0<u_1<1$. Donc $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire $0<u_k<u_{k+1}<1$ (hypothèse de récurrence). Montrons $P(k+1)$, c'est-à-dire $0<u_{k+1}<u_{k+2}<1$.

Les réels $0$, $u_k$, $u_{k+1}$ et $1$ appartiennent à $[0\,;1]$, intervalle sur lequel $g$ est strictement croissante (question 1). On applique $g$ à chaque membre de l'hypothèse de récurrence en conservant le sens des inégalités :

Or $g(0)=0$, $g(u_k)=u_{k+1}$, $g(u_{k+1})=u_{k+2}$ et $g(1)=1$. On obtient

Donc $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$. Donc, pour tout $n$, $0<u_n<u_{n+1}<1$.

Question 4.

D'après la question 3, pour tout entier naturel $n$ :

• $u_n<u_{n+1}$, donc la suite $(u_n)$ est strictement croissante

• $u_n<1$, donc la suite $(u_n)$ est majorée par $1$.

D'après le théorème de la limite monotone (toute suite croissante et majorée converge), la suite $(u_n)$ converge.

Question 5.

Notons $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$, qui existe d'après la question 4.

La suite $(u_n)$ étant croissante, pour tout $n$, $u_n\geqslant u_0=\dfrac12$   la suite est aussi majorée par $1$. Par passage à la limite dans les inégalités, $\dfrac12\leqslant\ell\leqslant1$, donc $\ell$ appartient à $[0\,;1]$.

La fonction $g$ est continue sur $[0\,;1]$ (c'est un polynôme). Les termes $u_n$ appartiennent à $[0\,;1]$ et $u_{n+1}=g(u_n)$. Quand $n$ tend vers $+\infty$, $u_{n+1}$ tend vers $\ell$ et $g(u_n)$ tend vers $g(\ell)$ par continuité. Par unicité de la limite,

On résout cette équation :

Comme $\ell\geqslant\dfrac12$, la valeur $0$ est exclue.

Donc la limite de la suite $(u_n)$ est $\ell=1$.

Réponse : $\ell=1$.

Question 6.

Pour tout entier naturel $n$, on a $u_n<1$, donc $1-u_n>0$ : le logarithme $v_n=\ln(1-u_n)$ est bien défini.

On calcule $1-u_{n+1}$ :

On en déduit, avec $\ln\left(a^2\right)=2\ln a$ pour $a>0$ :

Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $2$.

Son premier terme est

Question 7.

Le terme général d'une suite géométrique de raison $2$ et de premier terme $v_0$ est $v_n=v_0\times2^n$. Donc, pour tout entier naturel $n$,

Question 8.

Par définition, $v_n=\ln(1-u_n)$. En appliquant la fonction exponentielle :

On en déduit

On retrouve la limite. On a $\lim\limits_{n\to+\infty}2^n=+\infty$ car $2>1$. Comme $0<\dfrac12<1$, on a $\lim\limits_{X\to+\infty}\left(\dfrac12\right)^X=0$. Par composition,

donc

Donc $u_n=1-\left(\dfrac12\right)^{2^n}$ et la limite est $1$, ce qui confirme le résultat de la question 5.

Réponse : $u_n=1-\left(\dfrac12\right)^{2^n}$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=1$.

Question 9.

À chaque passage dans la boucle, l'indice $n$ augmente de $1$ et la variable $u$, qui contient $u_n$, est remplacée par $u_{n+1}=g(u_n)=2u_n-u_n^2$. Le script complété est :

def seuil():
    n = 0
    u = 0.5
    while u < 0.95 :
        n = n + 1
        u = 2*u - u**2
    return n

Trace de l'exécution :

• au départ, $n=0$ et $u=0{,}5<0{,}95$ : on entre dans la boucle

• après un passage, $n=1$ et $u=0{,}75<0{,}95$

• après deux passages, $n=2$ et $u=0{,}9375<0{,}95$

• après trois passages, $n=3$ et $u=u_3=1-2^{-8}=0{,}99609375\geqslant0{,}95$ : la boucle s'arrête.

Donc la fonction renvoie $3$ : c'est le rang à partir duquel la suite dépasse $0{,}95$.

Réponse : n = n + 1 et u = 2*u - u**2   la fonction renvoie $3$.

Points clés attendus

• Récurrence rédigée en trois temps (initialisation, hérédité avec « soit $k$ fixé tel que…{} », conclusion) en citant la stricte croissance de $g$ sur $[0\,;1]$ et en vérifiant que les quatre nombres sont dans cet intervalle.

• Question 4 : citer le théorème de la limite monotone (croissante et majorée).

• Question 5 : justifier que $\ell$ vérifie $\ell=g(\ell)$ par continuité de $g$, puis écarter la racine $0$ grâce à la croissance de la suite.

• Question 6 : justifier que $v_n$ est défini ($1-u_n>0$), puis montrer que $1-u_{n+1}=(1-u_n)^2$.

• Question 9 : la boucle while continue tant que $u<0{,}95$   justifier la valeur renvoyée par le calcul des premiers termes.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.