Bac 2024, Amérique du Nord : exercice 3

Partie A

Question 1.

Le nombre dérivé $f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente $(T)$ à la courbe $(\mathcal{C}_f)$ au point $A(1\,;-1)$.

La droite $(T)$ passe par $A(1\,;-1)$ et par $B(0\,;-4)$, donc son coefficient directeur est

L'équation réduite de $(T)$ est de la forme $y=3x+p$. Le point $B(0\,;-4)$ est sur l'axe des ordonnées et appartient à $(T)$, donc $p=-4$.

Vérification avec $A$ : $3\times 1-4=-1$.

Donc $f'(1)=3$ et la tangente $(T)$ a pour équation réduite $y=3x-4$.

Réponse : $f'(1)=3$ et $(T)\,:\ y=3x-4$.

Question 2.

Graphiquement, sur l'intervalle $]0\,;1]$, la courbe $(\mathcal{C}_f)$ semble située au-dessous de ses tangentes : la fonction $f$ semble concave sur $]0\,;1]$.

Sur l'intervalle $[1\,;+\infty[$, la courbe semble située au-dessus de ses tangentes : la fonction $f$ semble convexe sur $[1\,;+\infty[$.

La courbe traverse sa tangente $(T)$ au point $A$, et la convexité change de nature en ce point. Donc le point $A$ semble être un point d'inflexion de la courbe $(\mathcal{C}_f)$.

Partie B

Question 1.

Pour tout $x>0$, on a $\ln\left(x^2\right)=2\ln x$, donc

Limite en $+\infty$.

On a $\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$, donc par produit $\lim\limits_{x\to+\infty}2x\ln x=+\infty$.

D'autre part, $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac1x=0$.

Par somme des limites :

Limite en $0$.

Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to0^+}x\ln x=0$, donc $\lim\limits_{x\to0^+}2x\ln x=0$.

D'autre part, $\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac1x=+\infty$, donc $\lim\limits_{x\to0^+}\left(-\dfrac1x\right)=-\infty$.

Par somme des limites :

Donc $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty$ : la droite d'équation $x=0$ est asymptote verticale à $(\mathcal{C}_f)$.

Réponse : $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to0}f(x)=-\infty$.

Question 2. a)

On utilise l'expression $f(x)=2x\ln x-\dfrac1x$ sur $]0\,;+\infty[$. La fonction $f$ est dérivable sur cet intervalle (admis par l'énoncé).

Pour le produit $2x\ln x$, on pose $u(x)=2x$ et $v(x)=\ln x$, avec $u'(x)=2$ et $v'(x)=\dfrac1x$. La formule $(uv)'=u'v+uv'$ donne

Pour le second terme, $\left(-\dfrac1x\right)'=\dfrac1{x^2}$.

Donc, pour tout $x>0$,

Réponse : $f'(x)=2\ln x+2+\dfrac1{x^2}$.

Question 2. b)

La fonction $f$ est deux fois dérivable sur $]0\,;+\infty[$ (admis par l'énoncé). On dérive $f'$ terme à terme :

On met au même dénominateur $x^3$ :

Avec l'identité remarquable $x^2-1=(x+1)(x-1)$ :

Donc, pour tout $x>0$, $f''(x)=\dfrac{2(x+1)(x-1)}{x^3}$.

Question 3. a)

Pour tout $x>0$, on a $2>0$, $x+1>0$ et $x^3>0$. Donc $f''(x)$ a le même signe que $x-1$ :

• si $0<x<1$, alors $x-1<0$ et $f''(x)<0$

• si $x=1$, alors $f''(1)=0$

• si $x>1$, alors $x-1>0$ et $f''(x)>0$.

Une fonction dont la dérivée seconde est négative sur un intervalle y est concave, et elle y est convexe si la dérivée seconde est positive.

Donc $f$ est concave sur $]0\,;1]$ et convexe sur $[1\,;+\infty[$. La dérivée seconde s'annule en $1$ en changeant de signe : le point $A(1\,;f(1))=A(1\,;-1)$ est un point d'inflexion de $(\mathcal{C}_f)$, ce qui confirme les lectures graphiques de la partie A.

Question 3. b)

Le signe de $f''$ donne les variations de $f'$ :

• $f''(x)<0$ sur $]0\,;1[$, donc $f'$ est strictement décroissante sur $]0\,;1]$

• $f''(x)>0$ sur $]1\,;+\infty[$, donc $f'$ est strictement croissante sur $[1\,;+\infty[$.

La fonction $f'$ admet donc un minimum en $x=1$, égal à

Ainsi, pour tout $x>0$, $f'(x)\geqslant 3>0$ : la fonction $f'$ est strictement positive sur $]0\,;+\infty[$.

Une fonction dérivable dont la dérivée est strictement positive est strictement croissante. Donc $f$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$.

Question 4. a)

On applique le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection) à la fonction $f$ sur $]0\,;+\infty[$. On vérifie ses hypothèses :

• $f$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$, donc continue sur cet intervalle

• $f$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$ (question 3. b)

• $\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$, donc $f$ prend toutes les valeurs de $]-\infty\,;+\infty[$, et le réel $0$ en fait partie.

Donc $f$ réalise une bijection de $]0\,;+\infty[$ sur $\mathbb{R}$, et l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0\,;+\infty[$.

Question 4. b)

À la calculatrice :

Comme $f$ est strictement croissante et que $f(1{,}32)<f(\alpha)=0<f(1{,}33)$, on a $1{,}32<\alpha<1{,}33$. À la calculatrice, $\alpha\approx1{,}3279$, donc la valeur arrondie au centième de $\alpha$ est $1{,}33$.

Montrons maintenant que $\alpha^2=\mathrm{exp}\left(\dfrac1{\alpha^2}\right)$. Pour $x>0$ :

Le premier passage s'obtient en isolant, le deuxième en multipliant par $x>0$, le troisième en divisant par $x^2>0$.

La fonction exponentielle est définie sur $\mathbb{R}$ et vérifie $\mathrm{exp}(\ln y)=y$ pour tout $y>0$. En l'appliquant aux deux membres :

Comme $f(\alpha)=0$ et $\alpha>0$, on obtient

Donc $\alpha\approx1{,}33$ au centième, et $\alpha^2=\mathrm{exp}\left(\dfrac1{\alpha^2}\right)$.

Réponse : $\alpha\approx1{,}33$.

Points clés attendus

• Partie A : lire $f'(1)$ comme le coefficient directeur de la tangente et justifier le point d'inflexion par le changement de position de la courbe par rapport à ses tangentes.

• Limite en $0$ : citer les croissances comparées pour $x\ln x$, puis conclure par somme.

• Convexité : étudier le signe de $f''$ en justifiant le signe de chaque facteur, et utiliser que $f''$ change de signe en $1$.

• Variations de $f$ : passer par le minimum de $f'$ en $1$ ($f'(1)=3>0$) pour montrer que $f'$ est strictement positive.

• Question 4. a) : énoncer le théorème de la bijection avec ses trois hypothèses (continuité, stricte monotonie, limites ou valeurs aux bornes), puis conclure à l'existence et à l'unicité.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.