Bac 2024, Amérique du Nord : exercice 4

Question 1.

Pour $n=0$, on a $\mathrm{e}^{0}=1$, donc

Une primitive de $\sin$ est $-\cos$, donc

Donc $I_0=2$.

Réponse : $I_0=2$.

Question 2. a)

Soit $n$ un entier naturel. Pour tout $x\in[0\,;\pi]$ :

• $\mathrm{e}^{-nx}>0$, car une exponentielle est strictement positive

• $\sin x\geqslant0$, car $x\in[0\,;\pi]$.

Donc $\mathrm{e}^{-nx}\sin x\geqslant0$ sur $[0\,;\pi]$.

Par positivité de l'intégrale (la fonction est positive et les bornes $0\leqslant\pi$ sont dans l'ordre croissant), on obtient

Donc, pour tout entier naturel $n$, $I_n\geqslant0$.

Question 2. b)

Soit $n$ un entier naturel. Par linéarité de l'intégrale :

Comme $\mathrm{e}^{-(n+1)x}=\mathrm{e}^{-nx}\,\mathrm{e}^{-x}$, on factorise :

Pour tout $x\in[0\,;\pi]$ :

• $\mathrm{e}^{-nx}>0$

• $-x\leqslant0$ et la fonction exponentielle est croissante, donc $\mathrm{e}^{-x}\leqslant\mathrm{e}^{0}=1$, soit $\mathrm{e}^{-x}-1\leqslant0$

• $\sin x\geqslant0$.

L'intégrande est donc négatif ou nul sur $[0\,;\pi]$. Par positivité de l'intégrale (bornes dans l'ordre croissant), $I_{n+1}-I_n\leqslant0$.

Donc, pour tout entier naturel $n$, $I_{n+1}-I_n\leqslant0$.

Question 2. c)

D'après la question 2. b), la suite $(I_n)$ est décroissante.

D'après la question 2. a), elle est minorée par $0$.

D'après le théorème de la limite monotone (toute suite décroissante et minorée converge), la suite $(I_n)$ converge.

Question 3. a)

Soit $n$ un entier naturel. Pour tout $x\in[0\,;\pi]$ :

On multiplie par $\mathrm{e}^{-nx}>0$, ce qui conserve le sens de l'inégalité :

Par croissance de l'intégrale (bornes dans l'ordre croissant), on obtient

Question 3. b)

Soit $n\geqslant1$. La fonction $x\mapsto\mathrm{e}^{-nx}$ admet pour primitive $x\mapsto-\dfrac{\mathrm{e}^{-nx}}{n}$ (dérivée d'une composée : $\left(\mathrm{e}^{-nx}\right)'=-n\,\mathrm{e}^{-nx}$). Donc

Question 3. c)

D'après les questions 2. a), 3. a) et 3. b), pour tout entier $n\geqslant1$ :

Étudions la limite du majorant. On a $\lim\limits_{n\to+\infty}-n\pi=-\infty$ et $\lim\limits_{X\to-\infty}\mathrm{e}^{X}=0$, donc par composition $\lim\limits_{n\to+\infty}\mathrm{e}^{-n\pi}=0$. Alors $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(1-\mathrm{e}^{-n\pi}\right)=1$, et comme $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac1n=0$, par produit

La suite $(I_n)$ est encadrée par deux suites de limite $0$ : d'après le théorème des gendarmes,

Donc la suite $(I_n)$ converge vers $0$.

Réponse : $\lim\limits_{n\to+\infty}I_n=0$.

Question 4. a)

Soit $n\geqslant1$. Dans les deux intégrations par parties, les fonctions utilisées sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[0\,;\pi]$, ce qui valide la formule

Première intégration par parties. On pose

On obtient

Comme $\sin\pi=\sin0=0$, le crochet est nul, et

Seconde intégration par parties. On pose

On obtient

Calcul du crochet : en $\pi$, $-\mathrm{e}^{-n\pi}\cos\pi=\mathrm{e}^{-n\pi}$   en $0$, $-\mathrm{e}^{0}\cos0=-1$. Donc le crochet vaut $\mathrm{e}^{-n\pi}-(-1)=1+\mathrm{e}^{-n\pi}$.

Calcul de l'intégrale : $\left(-n\,\mathrm{e}^{-nx}\right)\left(-\cos x\right)=n\,\mathrm{e}^{-nx}\cos x$, donc l'intégrale vaut $nJ_n$.

On en déduit

Donc, pour tout entier $n\geqslant1$, $I_n=1+\mathrm{e}^{-n\pi}-nJ_n$ et $I_n=\dfrac1nJ_n$.

Question 4. b)

Soit $n\geqslant1$. De la relation $I_n=\dfrac1nJ_n$, on tire $J_n=nI_n$.

On reporte dans l'autre relation :

On regroupe les termes en $I_n$ :

Comme $n^2+1\neq0$, on divise :

Donc, pour tout entier $n\geqslant1$, $I_n=\dfrac{1+\mathrm{e}^{-n\pi}}{n^2+1}$.

Question 5.

On cherche le premier rang $n$ pour lequel $I_n<0{,}1$. La suite $(I_n)$ est décroissante, donc il suffit de continuer à incrémenter $n$ tant que la valeur courante de $I$ est supérieure ou égale à $0{,}1$.

À l'entrée de la boucle, $n=0$ et $I=I_0=2$. La ligne 5 est donc :

while I >= 0.1 :

Trace de l'exécution (valeurs de $I$ arrondies) :

• $n=0$ : $I=2\geqslant0{,}1$, on entre dans la boucle

• $n=1$ : $I=I_1\approx0{,}5216\geqslant0{,}1$

• $n=2$ : $I=I_2\approx0{,}2004\geqslant0{,}1$

• $n=3$ : $I=I_3\approx0{,}10001\geqslant0{,}1$

• $n=4$ : $I=I_4\approx0{,}0588<0{,}1$, la boucle s'arrête.

Donc la fonction seuil renvoie $n=4$ : la suite $(I_n)$ devient inférieure à $0{,}1$ à partir du rang $4$.

Réponse : la ligne 5 est l'instruction while ci-dessus, et la fonction renvoie $4$.

Points clés attendus

• Justifier le signe de l'intégrande (trois facteurs de signe connu) avant d'invoquer la positivité de l'intégrale, bornes dans l'ordre croissant.

• Question 2. c) : citer le théorème de la limite monotone en précisant décroissante et minorée.

• Question 3. c) : encadrer $I_n$ puis citer le théorème des gendarmes, après avoir justifié la limite du majorant.

• Intégrations par parties : poser clairement $u$, $u'$, $v$, $v'$ et calculer soigneusement les crochets (valeurs de $\cos\pi$ et $\sin\pi$).

• Question 5 : la condition de la boucle while est la condition de poursuite, c'est-à-dire $I\geqslant0{,}1$, et non la condition d'arrêt.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.