Bac 2023, Amérique du Sud : exercice 4

Partie A

Question 1.

On étudie séparément les deux termes de $f(x)=\ln\left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)+\dfrac14x$.

On a $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}-x=-\infty$ et $\displaystyle\lim_{X\to-\infty}\mathrm{e}^{X}=0$, donc par composition :

Donc $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)=1$.

La fonction $\ln$ est continue en $1$ et $\ln 1=0$, donc par composition :

Par ailleurs :

Par somme de limites, on obtient :

Donc la limite de $f$ en $+\infty$ est $+\infty$.

Réponse : $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.

Question 2. a)

La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ (admis). On dérive $\ln(u)$ avec $u(x)=1+\mathrm{e}^{-x}$, de dérivée $u'(x)=-\mathrm{e}^{-x}$, la fonction $u$ étant strictement positive sur $\mathbb{R}$ :

Pour tout réel $x$ :

On multiplie le numérateur et le dénominateur de la première fraction par $\mathrm{e}^{x}$ (non nul) :

On réduit au même dénominateur $4\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)$ :

Donc, pour tout réel $x$, $f'(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}-3}{4\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)}$.

Question 2. b)

Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{x}+1>0$, donc le dénominateur $4\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)$ est strictement positif.

Donc $f'(x)$ a le signe de $\mathrm{e}^{x}-3$.

On résout, la fonction $\exp$ étant strictement croissante sur $\mathbb{R}$ :

On en déduit :

• $f'(x)<0$ pour $x<\ln 3$ : $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty\,;\ln 3]$

• $f'(\ln 3)=0$

• $f'(x)>0$ pour $x>\ln 3$ : $f$ est strictement croissante sur $[\ln 3\,;+\infty[$.

Le minimum de $f$ est atteint en $\ln 3$ :

Donc $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty\,;\ln 3]$, strictement croissante sur $[\ln 3\,;+\infty[$, et admet pour minimum $f(\ln 3)=\ln\dfrac43+\dfrac{\ln 3}{4}\approx 0{,}562$.

Question 2. c)

On applique le théorème des valeurs intermédiaires (cas d'une fonction strictement monotone) à $f$ sur l'intervalle $[2\,;5]$.

Vérification des hypothèses :

• $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, donc continue sur $[2\,;5]$

• $\ln 3\approx 1{,}099<2$, donc $[2\,;5]\subset[\ln 3\,;+\infty[$ et $f$ est strictement croissante sur $[2\,;5]$

• $f(2)=\ln\left(1+\mathrm{e}^{-2}\right)+\dfrac12\approx 0{,}627<1$ et $f(5)=\ln\left(1+\mathrm{e}^{-5}\right)+\dfrac54\approx 1{,}257>1$, donc $1\in\left[f(2)\,;f(5)\right]$.

Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=1$ admet une solution dans $[2\,;5]$, et cette solution est unique car $f$ est strictement monotone sur cet intervalle.

Donc l'équation $f(x)=1$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[2\,;5]$.

Partie B

Question 1. a)

Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{x}>0$ et $\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)^2>0$ (carré d'un nombre strictement positif).

Donc $f''(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)^2}>0$ pour tout réel $x$.

Question 1. b)

Comme $f''>0$ sur $\mathbb{R}$, la fonction $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$.

Une fonction convexe a une courbe située au-dessus de chacune de ses tangentes. Donc $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de la tangente $\Delta$ sur $\mathbb{R}$, en particulier sur $[-\alpha\,;\alpha]$.

Une fonction convexe a aussi une courbe située en dessous de chacune de ses cordes entre les deux extrémités de la corde. Donc, sur $[-\alpha\,;\alpha]$, $\mathcal{C}_f$ est en dessous de la corde $[\text{NM}]$, portée par la droite (MN).

Ainsi, pour tout $x\in[-\alpha\,;\alpha]$, le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $x$ est au-dessus de $\Delta$ (droite (PQ)) et en dessous de (MN), dans la bande délimitée par les droites verticales d'abscisses $-\alpha$ (côté $[\text{NP}]$) et $\alpha$ (côté $[\text{QM}]$).

Donc la portion de $\mathcal{C}_f$ sur $[-\alpha\,;\alpha]$ est inscrite dans le quadrilatère MNPQ.

Question 2. a)

On part de $f(-\alpha)=\ln\left(1+\mathrm{e}^{\alpha}\right)+\dfrac14(-\alpha)$.

On factorise $\mathrm{e}^{\alpha}$ dans le logarithme, car $1+\mathrm{e}^{\alpha}=\mathrm{e}^{\alpha}\left(\mathrm{e}^{-\alpha}+1\right)$, avec $\mathrm{e}^{\alpha}\left(\mathrm{e}^{-\alpha}+1\right)>0$ :

Donc $f(-\alpha)=\ln\left(\mathrm{e}^{-\alpha}+1\right)+\dfrac34\alpha$.

Question 2. b)

On détermine d'abord l'équation de $\Delta$. On a :

La tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$ a pour équation $y=f'(0)(x-0)+f(0)$, soit :

Les points M et N sont sur $\mathcal{C}_f$ et les points Q et P sont sur $\Delta$ :

On calcule les coordonnées de $\overrightarrow{\text{QM}}$ (première coordonnée nulle, M et Q ayant la même abscisse) :

On calcule de même les coordonnées de $\overrightarrow{\text{PN}}$, avec la question 2. a) :

Les deux ordonnées sont égales, et les deux abscisses sont nulles :

L'égalité $\overrightarrow{\text{QM}}=\overrightarrow{\text{PN}}$ équivaut à $\overrightarrow{\text{MN}}=\overrightarrow{\text{QP}}$. Le quadrilatère MNPQ a donc deux côtés opposés $[\text{MN}]$ et $[\text{QP}]$ de même direction, même sens et même longueur.

Ces côtés ne sont pas confondus car M est au-dessus de Q : $\mathcal{C}_f$ est strictement au-dessus de $\Delta$ en dehors de $0$ (convexité stricte, $f''>0$), donc $y_{\text{M}}-y_{\text{Q}}>0$.

Donc le quadrilatère MNPQ est un parallélogramme.

Points clés attendus

• Limite : composition ($\mathrm{e}^{-x}\to 0$ puis $\ln$ continue en $1$), puis somme avec $\dfrac x4\to+\infty$.

• Dérivée de $\ln(u)$ sous la forme $\dfrac{u'}{u}$, puis simplification en multipliant par $\mathrm{e}^{x}$ et réduction au même dénominateur.

• Signe de $f'$ : justifier que le dénominateur est strictement positif, puis résoudre $\mathrm{e}^{x}>3$.

• Théorème des valeurs intermédiaires : citer continuité, stricte monotonie sur $[2\,;5]$ (car $\ln 3<2$) et signes aux bornes, puis conclure à l'unicité.

• Convexité : signe de $f''$, courbe au-dessus de ses tangentes et sous ses cordes.

• Parallélogramme : calculer la tangente, puis montrer $\overrightarrow{\text{QM}}=\overrightarrow{\text{PN}}$ avec la formule de la question 2. a).

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