Bac 2023, Polynésie : exercice 2

Question 1. Un vecteur normal à $\mathcal{P}_1$ est $\vec{n_1}(5\,;\,2\,;\,4)$ et un vecteur normal à $\mathcal{P}_2$ est $\vec{n_2}(10\,;\,14\,;\,3)$, d'après les coefficients de leurs équations cartésiennes.

Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires. On compare les coordonnées :

Les rapports ne sont pas égaux, donc il n'existe aucun réel $\lambda$ tel que $\vec{n_2} = \lambda\,\vec{n_1}$ : les vecteurs $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ ne sont pas colinéaires.

Donc les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ ne sont pas parallèles.

Question 2. Les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ ne sont pas parallèles : ils sont donc sécants, et leur intersection est une droite.

Soit $M(1+2t\,;\,-t\,;\,3-2t)$ un point quelconque de $\mathcal{D}$, avec $t \in \mathbb{R}$. On remplace ses coordonnées dans l'équation de $\mathcal{P}_1$ :

Puis dans l'équation de $\mathcal{P}_2$ :

Donc tout point de $\mathcal{D}$ appartient à $\mathcal{P}_1$ et à $\mathcal{P}_2$ : la droite $\mathcal{D}$ est contenue dans l'intersection $\mathcal{P}_1 \cap \mathcal{P}_2$.

Or cette intersection est une droite, et $\mathcal{D}$ est une droite contenue dans cette droite : elles sont égales.

Donc $\mathcal{D}$ est la droite d'intersection des plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$.

Question 3.

a) On remplace les coordonnées de $\mathrm{A}(1\,;\,-1\,;\,-1)$ dans le membre de gauche de l'équation de $\mathcal{P}_1$ :

Or $-1 \neq 17$. Donc le point $\mathrm{A}$ n'appartient pas à $\mathcal{P}_1$.

b) D'après la question 2, la droite $\mathcal{D}$ est contenue dans $\mathcal{P}_1$ : tout point de $\mathcal{D}$ appartient à $\mathcal{P}_1$.

D'après la question précédente, $\mathrm{A} \notin \mathcal{P}_1$.

Donc le point $\mathrm{A}$ n'appartient pas à la droite $\mathcal{D}$.

Question 4.

a) Pour tout réel $t$, on calcule les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\mathrm{A}M}$ :

Le repère est orthonormé, donc

Donc, pour tout réel $t$, $f(t) = 9t^2 - 18t + 17$.

b) La fonction $f$ est un polynôme, donc dérivable sur $\mathbb{R}$, et pour tout réel $t$ :

On étudie le signe de $f'$ :

• pour $t < 1$, $f'(t) < 0$ : $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty\,;\,1]$

• pour $t > 1$, $f'(t) > 0$ : $f$ est strictement croissante sur $[1\,;\,+\infty[$.

Donc $f$ admet un minimum en $t = 1$, et

(On retrouve ce résultat avec la forme canonique : $f(t) = 9(t-1)^2 + 8 \geqslant 8$, avec égalité si et seulement si $t = 1$.)

Pour tout $t$, $\mathrm{A}M = \sqrt{f(t)}$, et la fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0\,;\,+\infty[$. Donc $\mathrm{A}M$ et $\mathrm{A}M^2$ sont minimales pour la même valeur de $t$, c'est-à-dire $t = 1$.

Pour $t = 1$, le point $M$ a pour coordonnées $(1 + 2\,;\,-1\,;\,3 - 2) = (3\,;\,-1\,;\,1)$.

Donc la distance $\mathrm{A}M$ est minimale lorsque $M$ a pour coordonnées $(3\,;\,-1\,;\,1)$, et ce minimum vaut $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Réponse : minimum de $\mathrm{A}M^2$ égal à $8$, atteint en $t = 1$, c'est-à-dire en $M(3\,;\,-1\,;\,1)$.

Question 5. Le point $\mathrm{H}(3\,;\,-1\,;\,1)$ correspond à la valeur $t = 1$ du paramètre : il appartient à la droite $\mathcal{D}$.

Un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ se lit sur les coefficients de $t$ dans la représentation paramétrique : $\vec{u}(2\,;\,-1\,;\,-2)$.

On calcule les coordonnées de $\overrightarrow{\mathrm{AH}}$ :

Le repère est orthonormé, donc le produit scalaire se calcule avec les coordonnées :

Les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{AH}}$ et $\vec{u}$ sont donc orthogonaux : les droites $(\mathrm{AH})$ et $\mathcal{D}$ sont orthogonales.

De plus, $\mathrm{H}$ appartient à $\mathcal{D}$ et à $(\mathrm{AH})$ : ces deux droites sont sécantes en $\mathrm{H}$.

Donc la droite $(\mathrm{AH})$ est perpendiculaire à $\mathcal{D}$.

Points clés attendus

• Justifier le non-parallélisme des plans par la non-colinéarité des vecteurs normaux, en comparant explicitement les coordonnées.

• Pour l'intersection : vérifier que les coordonnées du point courant de $\mathcal{D}$ satisfont les deux équations, puis conclure à l'égalité des droites.

• Utiliser $\mathcal{D} \subset \mathcal{P}_1$ pour justifier que $\mathrm{A} \notin \mathcal{D}$.

• Développer correctement $f(t) = \mathrm{A}M^2$ et justifier que le minimum de $\mathrm{A}M$ est atteint au même $t$ que celui de $\mathrm{A}M^2$.

• Pour la perpendicularité : produit scalaire nul et point commun $\mathrm{H}$ (orthogonales et sécantes).

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.