Bac 2023, Polynésie : exercice 4

Question 1. Vraie.

Pour tout entier naturel $n$, on a $\left|(-1)^n\right| = 1$, donc

Comme $n \geqslant 0$, on a $n + 1 \geqslant 1$, donc $0 < \dfrac{1}{n+1} \leqslant 1$ (la fonction inverse est décroissante sur $]0\,;\,+\infty[$).

Ainsi $|u_n| \leqslant 1$, c'est-à-dire $-1 \leqslant u_n \leqslant 1$ pour tout $n$.

Donc la suite $u$ est minorée par $-1$ et majorée par $1$ : elle est bornée. L'affirmation est vraie.

Question 2. Fausse.

On considère la suite $\left((-1)^n\right)$. Pour tout $n$, $-1 \leqslant (-1)^n \leqslant 1$ : elle est bornée.

Ses termes d'indices pairs valent $1$ et ses termes d'indices impairs valent $-1$. Si elle convergeait vers une limite $\ell$, les deux suites extraites (indices pairs, indices impairs) convergeraient aussi vers $\ell$, ce qui donnerait $\ell = 1$ et $\ell = -1$ : c'est impossible. Donc cette suite diverge.

Cette suite est un contre-exemple : une suite bornée n'est pas nécessairement convergente. L'affirmation est fausse.

Question 3. Fausse.

La suite constante $(w_n)$ définie par $w_n = 0$ pour tout $n$ est croissante (on a $w_{n+1} - w_n = 0 \geqslant 0$) et converge vers $0$, donc elle ne tend pas vers $+\infty$.

Cette suite est un contre-exemple. L'affirmation est fausse.

Remarque : d'après le théorème de la limite monotone, une suite croissante tend vers $+\infty$ si elle n'est pas majorée, et converge si elle est majorée.

Question 4. Fausse.

Ensemble de définition. Pour tout réel $x$, on a $x^2 + 2x + 2 = (x + 1)^2 + 1 \geqslant 1 > 0$. La fonction $f = \ln \circ u$ avec $u(x) = x^2 + 2x + 2$ est donc définie et deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ (composée de fonctions dérivables, $u$ étant strictement positive).

Dérivée première. On a $u'(x) = 2x + 2$ et, d'après la formule $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$,

Dérivée seconde. On dérive ce quotient avec $\left(\dfrac{a}{b}\right)' = \dfrac{a'b - ab'}{b^2}$, où $a(x) = 2x + 2$, $a'(x) = 2$, $b(x) = x^2 + 2x + 2$ et $b'(x) = 2x + 2$ :

Signe. Le dénominateur est strictement positif. Donc $f''(x)$ est du signe de $-2x(x + 2)$, positif entre les racines $-2$ et $0$ et négatif à l'extérieur. Ainsi $f''(x) \geqslant 0$ sur $[-2\,;\,0]$, et $f''(x) < 0$ sur $[-3\,;\,-2[$ et sur $]0\,;\,1]$.

Une fonction deux fois dérivable est convexe sur un intervalle si et seulement si sa dérivée seconde est positive sur cet intervalle. Or, par exemple,

avec $1 \in [-3\,;\,1]$.

Donc $f$ n'est pas convexe sur $[-3\,;\,1]$. L'affirmation est fausse.

Question 5. Vraie.

La fonction mystere initialise M avec le premier élément de la liste, puis parcourt tous les éléments : chaque fois qu'un élément L[i] est strictement supérieur à M, elle le stocke dans M. Elle renvoie donc le plus grand élément de la liste.

Exécution sur [2, 3, 7, 0, 6, 3, 2, 0, 5] :

• initialement M = 2

• L[0] = 2 n'est pas supérieur à $2$ : M reste $2$

• L[1] = 3 > 2 : M devient $3$

• L[2] = 7 > 3 : M devient $7$

• les éléments suivants $0$, $6$, $3$, $2$, $0$, $5$ sont tous inférieurs ou égaux à $7$ : M reste $7$.

Donc l'appel renvoie $7$. L'affirmation est vraie.

Points clés attendus

• Pour une affirmation fausse, donner un contre-exemple précis (suite $\left((-1)^n\right)$, suite constante).

• Une suite bornée n'est pas forcément convergente, et une suite croissante n'est pas forcément divergente.

• Pour la convexité, calculer $f''$ en détaillant le quotient, étudier son signe sur l'intervalle donné et exhiber un point où $f''<0$.

• Pour le programme, expliciter le rôle de la fonction (maximum) et les valeurs successives de M.

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