Bac 2023, Polynésie : exercice 3

Partie A

Question 1.

On lit sur le graphique les propriétés suivantes, pour $x \in [0\,;\,8]$ :

• la courbe $\mathcal{C}_2$ est croissante sur $[0\,;\,8]$

• la courbe $\mathcal{C}_3$ est au dessus de l'axe des abscisses, croissante sur $[0\,;\,4]$ puis décroissante sur $[4\,;\,8]$, avec un maximum en $x = 4$

• la courbe $\mathcal{C}_1$ est positive sur $[0\,;\,4[$, s'annule en $x = 4$ en changeant de signe, puis est négative sur $]4\,;\,8]$.

Une fonction croissante a une dérivée positive : $\mathcal{C}_2$ étant croissante, sa dérivée est positive. La courbe $\mathcal{C}_3$ est positive et la pente de $\mathcal{C}_2$ est la plus grande en $x = 4$, là où $\mathcal{C}_3$ est maximale.

Le signe d'une dérivée donne les variations de la fonction : $\mathcal{C}_1$ est positive sur $[0\,;\,4[$ et négative sur $]4\,;\,8]$, ce qui correspond exactement aux variations de $\mathcal{C}_3$ (croissante puis décroissante, maximum en $4$). Donc $\mathcal{C}_1$ est la dérivée de $\mathcal{C}_3$.

De même, le signe de $\mathcal{C}_3$ (positif) correspond aux variations de $\mathcal{C}_2$ (croissante), donc $\mathcal{C}_3$ est la dérivée de $\mathcal{C}_2$.

La courbe $\mathcal{C}_1$, qui prend des valeurs négatives, ne peut pas être la dérivée de $\mathcal{C}_2$, qui est croissante : cela confirme l'ordre obtenu.

Donc :

• $\mathcal{C}_2$ est la courbe de $f$

• $\mathcal{C}_3$ est la courbe de $f'$

• $\mathcal{C}_1$ est la courbe de $f''$.

Question 2.

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_2$ de $f$ au point d'abscisse $4$ est le nombre dérivé $f'(4)$.

D'après la question 1, $f'$ est représentée par $\mathcal{C}_3$. Le point de $\mathcal{C}_3$ d'abscisse $4$ a pour ordonnée $3$ (lecture graphique, c'est le maximum de $\mathcal{C}_3$).

Donc $f'(4) = 3$ : le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}_2$ au point d'abscisse $4$ est $3$.

Réponse : $3$.

Question 3.

Un point d'inflexion d'une courbe est un point où la courbe traverse sa tangente, c'est-à-dire où sa concavité change.

La question porte sur la courbe $\mathcal{C}_1$ (énoncé lu littéralement). Par lecture graphique, $\mathcal{C}_1$ change de concavité trois fois :

• elle passe de convexe à concave vers $x \approx 3{,}2$, avant son maximum

• elle passe de concave à convexe en $x = 4$, là où elle coupe l'axe des abscisses

• elle passe de convexe à concave vers $x \approx 4{,}8$, après son minimum.

Donc les abscisses des points d'inflexion de $\mathcal{C}_1$ sont environ $3{,}2$   $4$ et $4{,}8$.

Remarque : si la question visait la courbe $\mathcal{C}_2$ de $f$, les points d'inflexion correspondent aux changements de signe de $f''$, représentée par $\mathcal{C}_1$. Il n'y en a alors qu'un, d'abscisse $4$.

Réponse : environ $3{,}2$   $4$ et $4{,}8$ pour $\mathcal{C}_1$ (et $4$ pour $\mathcal{C}_2$).

Partie B

Question 1.

On a $k > 0$.

Limite en $+\infty$. On a $\lim\limits_{x \to +\infty} (-kx) = -\infty$ car $k > 0$. Par limite d'une composée avec $\lim\limits_{X \to -\infty} \mathrm{e}^{X} = 0$, on obtient $\lim\limits_{x \to +\infty} \mathrm{e}^{-kx} = 0$.

Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \left(1 + \mathrm{e}^{-kx}\right) = 1$, puis par quotient

Limite en $-\infty$. On a $\lim\limits_{x \to -\infty} (-kx) = +\infty$ car $k > 0$. Par limite d'une composée avec $\lim\limits_{X \to +\infty} \mathrm{e}^{X} = +\infty$, on obtient $\lim\limits_{x \to -\infty} \mathrm{e}^{-kx} = +\infty$.

Donc $\lim\limits_{x \to -\infty} \left(1 + \mathrm{e}^{-kx}\right) = +\infty$, puis par quotient

Donc $g$ admet pour limite $4$ en $+\infty$ et $0$ en $-\infty$.

Réponse : $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = 4$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} g(x) = 0$.

Question 2.

La fonction $g$ est de la forme $\dfrac{4}{v}$ avec $v(x) = 1 + \mathrm{e}^{-kx}$. La fonction $v$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ (somme et composée de fonctions dérivables) et ne s'annule pas, car $v(x) > 1 > 0$. Donc $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.

On a $v'(x) = -k\,\mathrm{e}^{-kx}$. D'après la formule de dérivation d'un quotient $\left(\dfrac{4}{v}\right)' = -\dfrac{4v'}{v^2}$ :

En $x = 0$, on a $\mathrm{e}^{0} = 1$, donc

Donc $g'(0) = k$.

Question 3.

D'après le calcul formel, pour tout réel $x$ :

On étudie le signe de $g''(x)$.

On a $4k^2\,\mathrm{e}^{kx} > 0$ (car $k > 0$ et une exponentielle est strictement positive) et $\left(\mathrm{e}^{kx} + 1\right)^3 > 0$. Donc $g''(x)$ est du signe de $-\left(\mathrm{e}^{kx} - 1\right)$.

La fonction exponentielle est strictement croissante et $\mathrm{e}^{0} = 1$, donc

On en déduit :

• pour $x < 0$ : $\mathrm{e}^{kx} - 1 < 0$, donc $g''(x) > 0$

• $g''(0) = 0$

• pour $x > 0$ : $\mathrm{e}^{kx} - 1 > 0$, donc $g''(x) < 0$.

La dérivée seconde $g''$ s'annule en $0$ en changeant de signe : la fonction $g$ est convexe sur $]-\infty\,;\,0]$ et concave sur $[0\,;\,+\infty[$. Donc la courbe de $g$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse $0$.

Points clés attendus

• Justifier l'identification des courbes par le lien entre signe d'une fonction et variations de sa primitive, et non par une simple lecture.

• Lire $f'(4)$ sur la courbe de $f'$ et non sur celle de $f$.

• Citer la limite d'une composée pour les limites de $g$, en utilisant l'hypothèse $k > 0$.

• Dériver $\dfrac{4}{v}$ avec la formule du quotient et évaluer en $0$.

• Un point d'inflexion exige que $g''$ s'annule et change de signe, ce qu'il faut étudier explicitement.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.