Bac 2023, Polynésie : exercice 2

Question 1. a)

La droite $d_2$ est donnée par la représentation paramétrique

c'est-à-dire $x=-3+2\times k$, $y=0+1\times k$, $z=5+0\times k$.

Un vecteur directeur de $d_2$ est formé des coefficients du paramètre $k$ :

La droite $d_2$ passe par le point $(-3\,;0\,;5)$ (valeur $k=0$).

Réponse : $\vec{v}\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $d_2$.

1. b)

Les droites $d_1$ et $d_2$ ont pour vecteurs directeurs respectifs $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}$.

Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

Raisonnons par l'absurde et supposons $\vec{u}$ et $\vec{v}$ colinéaires. Comme $\vec{u}\neq\vec{0}$, il existerait un réel $\lambda$ tel que $\vec{v}=\lambda\vec{u}$.

La troisième coordonnée donnerait $0=\lambda\times 1$, donc $\lambda=0$.

On aurait alors $\vec{v}=\vec{0}$, ce qui est faux puisque $\vec{v}$ a pour première coordonnée $2$.

Donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires.

Donc les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont pas parallèles.

1. c)

La droite $d_1$ passe par $\mathrm{H}(2\,;3\,;0)$ et a pour vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$. Une représentation paramétrique de $d_1$ est donc

Un point commun à $d_1$ et $d_2$ correspond à un couple $(t\,;k)$ de réels vérifiant le système

La troisième équation donne $t=5$.

La deuxième équation donne alors $k=3-5=-2$.

On remplace dans la première équation :

Or $7\neq-7$ : la première équation n'est pas vérifiée.

Le système n'a donc pas de solution.

Donc les droites $d_1$ et $d_2$ n'ont aucun point commun : elles ne sont pas sécantes.

1. d)

Les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont pas parallèles (question 1. b) et n'ont aucun point commun (question 1. c).

Or deux droites coplanaires sont soit parallèles, soit sécantes.

Donc les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont pas coplanaires.

Réponse : $d_1$ et $d_2$ sont non coplanaires.

Question 2. a)

On calcule les produits scalaires avec les coordonnées dans le repère orthonormé :

Les vecteurs $\vec{w}$, $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont non nuls et les produits scalaires sont nuls.

Donc le vecteur $\vec{w}$ est orthogonal à $\vec{u}$ et à $\vec{v}$.

2. b)

Un point de $d_2$ de paramètre $k$ a pour coordonnées $(2k-3\,;k\,;5)$.

Il appartient au plan $P$ d'équation $5x+4y-z-22=0$ si et seulement si

L'équation admet une unique solution : la droite $d_2$ coupe donc le plan $P$ en un seul point, celui de paramètre $k=3$.

Ses coordonnées sont $(2\times 3-3\,;3\,;5)=(3\,;3\,;5)$.

Vérification : $5\times 3+4\times 3-5-22=15+12-5-22=0$, donc ce point est bien dans $P$.

Donc l'intersection du plan $P$ et de la droite $d_2$ est le point $\mathrm{M}(3\,;3\,;5)$.

Question 3. a)

La droite $\Delta$ a pour vecteur directeur $\vec{w}$ et la droite $d_1$ a pour vecteur directeur $\vec{u}$. D'après la question 2. a), $\vec{w}\cdot\vec{u}=0$ : les droites $\Delta$ et $d_1$ sont orthogonales.

Pour montrer qu'elles sont perpendiculaires, il reste à prouver qu'elles sont sécantes. On cherche un point commun : on résout, en prenant $r$ pour $\Delta$ et $t$ pour $d_1$,

La deuxième équation donne $2r=-t$, soit $t=-2r$.

On remplace dans la première équation :

d'où $t=-2\times(-1)=2$.

On vérifie la troisième équation : $3\times(-1)+5=2=t$. Elle est satisfaite.

Le système admet donc une solution, ce qui prouve que $\Delta$ et $d_1$ sont sécantes.

Le point d'intersection est obtenu pour $r=-1$ dans la représentation de $\Delta$ :

On retrouve les mêmes coordonnées avec $t=2$ dans $d_1$ : $(2+2\,;3-2\,;2)=(4\,;1\,;2)$.

Donc les droites $\Delta$ et $d_1$, orthogonales et sécantes, sont perpendiculaires au point $\mathrm{L}(4\,;1\,;2)$.

Réponse : $\mathrm{L}(4\,;1\,;2)$.

3. b)

Le problème demande une droite perpendiculaire à $d_1$ et à $d_2$, c'est-à-dire orthogonale et sécante à chacune d'elles.

• La droite $\Delta$ est perpendiculaire à $d_1$ en $\mathrm{L}$, d'après la question 3. a).

• La droite $\Delta$ passe par le point $\mathrm{M}$, qui appartient à $d_2$ : elles sont donc sécantes en $\mathrm{M}$. De plus, son vecteur directeur $\vec{w}$ est orthogonal au vecteur directeur $\vec{v}$ de $d_2$ (question 2. a) : $\Delta$ et $d_2$ sont orthogonales. Donc $\Delta$ est perpendiculaire à $d_2$ en $\mathrm{M}$.

Donc la droite $\Delta$ est perpendiculaire aux droites $d_1$ et $d_2$ : elle est solution du problème posé.

Points clés attendus

• Lire un vecteur directeur sur une représentation paramétrique et justifier la non-colinéarité.

• Distinguer « parallèles », « sécantes » et « non coplanaires » : deux droites non parallèles sans point commun ne sont pas coplanaires.

• Résoudre le système de recherche d'un point commun en précisant que le système est sans solution (1. c) ou qu'il en admet une et que la troisième équation est vérifiée (3. a).

• Distinguer « orthogonales » (vecteurs directeurs de produit scalaire nul) et « perpendiculaires » (orthogonales et sécantes).

• Conclure sur $\Delta$ en utilisant à la fois $\mathrm{L}\in d_1$ et $\mathrm{M}\in d_2$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.