Bac 2023, Nouvelle-Calédonie : exercice 1

Partie A

Question 1.

On traduit les données de l'énoncé en probabilités.

$60\,\%$ des clients choisissent un bateau à voile : $P(V)=0{,}6$.

Les évènements $V$ et $\overline{V}$ sont contraires, donc $P(\overline{V})=1-0{,}6=0{,}4$.

Parmi les clients qui choisissent un bateau à voile, $20\,\%$ prennent l'option PILOTE : $P_V(L)=0{,}2$, donc $P_V(\overline{L})=1-0{,}2=0{,}8$.

$42\,\%$ des clients prennent l'option PILOTE : $P(L)=0{,}42$.

L'arbre pondéré est le suivant :

• de la racine vers $V$ : $0{,}6$   de $V$ vers $L$ : $0{,}2$   de $V$ vers $\overline{L}$ : $0{,}8$

• de la racine vers $\overline{V}$ : $0{,}4$   de $\overline{V}$ vers $L$ : $P_{\overline{V}}(L)$ et de $\overline{V}$ vers $\overline{L}$ : $1-P_{\overline{V}}(L)$, valeurs complétées aux questions 3 et 4 (on trouve $0{,}75$ et $0{,}25$).

Question 2.

On cherche $P\left(V\cap\overline{L}\right)$.

D'après la formule de la probabilité d'une intersection :

Donc la probabilité que le client choisisse un bateau à voile et ne prenne pas l'option PILOTE est $0{,}48$.

Réponse : $P\left(V\cap\overline{L}\right)=0{,}48$.

Question 3.

On calcule d'abord $P(V\cap L)=P(V)\times P_V(L)=0{,}6\times0{,}2=0{,}12$.

Les évènements $V$ et $\overline{V}$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :

On remplace par les valeurs :

Donc

Donc la probabilité que le client choisisse un bateau à moteur et prenne l'option PILOTE est égale à $0{,}30$.

Question 4.

Par définition de la probabilité conditionnelle (avec $P(\overline{V})=0{,}4\neq0$) :

Donc $75\,\%$ des clients qui choisissent un bateau à moteur prennent l'option PILOTE.

Réponse : $P_{\overline{V}}(L)=0{,}75$.

Question 5.

On cherche la probabilité que le client ait choisi un bateau à voile sachant qu'il a pris l'option PILOTE, c'est-à-dire $P_L(V)$.

Par définition de la probabilité conditionnelle :

Donc, si un client a pris l'option PILOTE, la probabilité qu'il ait choisi un bateau à voile est environ $0{,}29$.

Réponse : $P_L(V)=\dfrac27\approx0{,}29$.

Partie B

Question 1.

On traduit les données : $P_L(A)=0{,}005$ et $P_{\overline{L}}(A)=0{,}12$.

On a $P(L)=0{,}42$ et $P\left(\overline{L}\right)=1-0{,}42=0{,}58$.

D'après la formule de la probabilité d'une intersection :

Donc $P(L\cap A)=0{,}0021$ et $P\left(\overline{L}\cap A\right)=0{,}0696$.

Réponse : $P(L\cap A)=0{,}0021$   $P\left(\overline{L}\cap A\right)=0{,}0696$.

Question 2.

Les évènements $L$ et $\overline{L}$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :

Pour une location, la probabilité d'avarie est $0{,}0717$. Sur $1000$ locations, le nombre moyen d'avaries est

Donc l'entreprise peut s'attendre à environ $72$ avaries (en moyenne $71{,}7$) sur $1000$ bateaux loués.

Réponse : $1000\times P(A)=71{,}7$, soit environ $72$ avaries.

Partie C

Question 1.

On considère $40$ clients choisis au hasard, chacun prenant l'option PILOTE avec la probabilité $0{,}42$. La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès.

Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=40$ et $p=0{,}42$.

Réponse : $X\sim\mathcal{B}(40\,;0{,}42)$.

Question 2.

On cherche $P(X\geqslant15)$.

L'évènement contraire de $\{X\geqslant15\}$ est $\{X\leqslant14\}$, donc

À la calculatrice, $P(X\leqslant14)\approx0{,}232$, donc

Donc la probabilité qu'au moins $15$ clients de l'échantillon prennent l'option PILOTE est environ $0{,}768$.

Réponse : $P(X\geqslant15)\approx0{,}768$.

Points clés attendus

• Traduire chaque donnée de l'énoncé en probabilité (intersection, conditionnelle) avant tout calcul.

• Citer la formule des probabilités totales avec la partition $\{V,\overline{V}\}$, puis $\{L,\overline{L}\}$.

• Écrire la définition de la probabilité conditionnelle pour $P_{\overline{V}}(L)$ et $P_L(V)$, et ne pas confondre les deux.

• Interpréter l'espérance du nombre d'avaries comme un nombre moyen sur $1000$ locations.

• Donner les paramètres de la loi binomiale et passer par l'évènement contraire pour $P(X\geqslant15)$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.