Bac 2023, Nouvelle-Calédonie : exercice 4

Question 1. a)

Pour $x>0$, $f(x)=5x^2+2x-2x^2\ln(x)$.

On étudie chaque terme quand $x\to0^+$ :

• $\lim\limits_{x\to0}5x^2=0$ et $\lim\limits_{x\to0}2x=0$

• par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to0}x^2\ln(x)=0$, donc $\lim\limits_{x\to0}-2x^2\ln(x)=0$.

Par somme des limites :

Donc la limite de $f$ en $0$ est égale à $0$.

Question 1. b)

Pour $x>0$, on factorise par $x^2$, terme dominant :

Quand $x\to+\infty$ :

• $\dfrac2x\to0$

• $\ln(x)\to+\infty$, donc $-2\ln(x)\to-\infty$.

Par somme, le facteur entre parenthèses tend vers $-\infty$. De plus $\lim\limits_{x\to+\infty}x^2=+\infty$.

Par produit :

Réponse : $\lim\limits_{x\to0}f(x)=0$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$.

Question 2.

La fonction $f$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$. Pour le terme $-2x^2\ln(x)$, on utilise la formule $(uv)'=u'v+uv'$ avec $u(x)=x^2$ et $v(x)=\ln(x)$, de dérivées $u'(x)=2x$ et $v'(x)=\dfrac1x$ :

Donc, pour tout $x>0$ :

Réponse : $f'(x)=8x+2-4x\ln(x)$.

Question 3. a)

On dérive $f'(x)=8x+2-4x\ln(x)$. Avec $u(x)=4x$ et $v(x)=\ln(x)$ :

Donc, pour tout $x>0$ :

Question 3. b)

La courbe $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de ses tangentes sur tout intervalle où $f$ est convexe, c'est-à-dire où $f''\geqslant0$.

On étudie le signe de $f''(x)=4(1-\ln(x))$. Comme $4>0$ :

car la fonction exponentielle est strictement croissante.

Donc $f''\geqslant0$ sur $]0\,;\mathrm{e}]$ et $f''\leqslant0$ sur $[\mathrm{e}\,;+\infty[$. La fonction $f$ est convexe sur $]0\,;\mathrm{e}]$ et concave sur $[\mathrm{e}\,;+\infty[$.

Donc le plus grand intervalle sur lequel $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de ses tangentes est $]0\,;\mathrm{e}]$.

Question 3. c)

La dérivée de $f'$ est $f''$. D'après la question 3. b), $f''(x)>0$ sur $]0\,;\mathrm{e}[$ et $f''(x)<0$ sur $]\mathrm{e}\,;+\infty[$.

On calcule la valeur en $\mathrm{e}$ :

Variations de $f'$ :

• $f'$ est strictement croissante sur $]0\,;\mathrm{e}]$, de la limite $2$ en $0$ jusqu'à $f'(\mathrm{e})=4\mathrm{e}+2$

• $f'$ est strictement décroissante sur $[\mathrm{e}\,;+\infty[$, de $f'(\mathrm{e})=4\mathrm{e}+2$ jusqu'à la limite $-\infty$ en $+\infty$.

Question 4. a)

Sur $]0\,;\mathrm{e}]$. La fonction $f'$ est strictement croissante et sa limite en $0$ est $2$. Donc, pour tout $x\in]0\,;\mathrm{e}]$, $f'(x)>2>0$. L'équation $f'(x)=0$ n'a pas de solution sur cet intervalle.

Sur $[\mathrm{e}\,;+\infty[$. La fonction $f'$ est continue (car dérivable), strictement décroissante, avec $f'(\mathrm{e})=4\mathrm{e}+2>0$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f'(x)=-\infty$. Donc $0$ appartient à l'intervalle image $]-\infty\,;4\mathrm{e}+2]$.

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (fonction continue et strictement monotone sur un intervalle), l'équation $f'(x)=0$ admet une unique solution sur $[\mathrm{e}\,;+\infty[$.

Donc l'équation $f'(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0\,;+\infty[$, et $\alpha>\mathrm{e}$.

Encadrement à la calculatrice : $f'(7{,}87)\approx0{,}015>0$ et $f'(7{,}88)\approx-0{,}028<0$. Comme $f'$ est strictement décroissante sur $[\mathrm{e}\,;+\infty[$, on obtient

Pour la question 5. b), on affine : $f'(7{,}873)\approx0{,}0022>0$ et $f'(7{,}874)\approx-0{,}0021<0$, donc $7{,}873<\alpha<7{,}874$.

Réponse : $\alpha$ est l'unique solution de $f'(x)=0$ et $7{,}87<\alpha<7{,}88$.

Question 4. b)

On connaît le signe de $f'$ d'après le tableau de variations de $f'$ et la question 4. a) :

• sur $]0\,;\alpha[$, $f'(x)>0$

• $f'(\alpha)=0$

• sur $]\alpha\,;+\infty[$, $f'(x)<0$.

Variations de $f$ :

• $f$ est strictement croissante sur $]0\,;\alpha]$, de la limite $0$ en $0$ jusqu'à $f(\alpha)$

• $f$ est strictement décroissante sur $[\alpha\,;+\infty[$, de $f(\alpha)$ jusqu'à la limite $-\infty$ en $+\infty$.

Donc $f$ admet un maximum en $\alpha$, égal à $f(\alpha)$.

Question 5. a)

Comme $f'(\alpha)=0$, on a

Comme $\alpha>0$, on peut diviser par $4\alpha$ :

On remplace $\ln(\alpha)$ dans $f(\alpha)$ :

Donc $\ln(\alpha)=\dfrac{4\alpha+1}{2\alpha}$ et $f(\alpha)=\alpha^2+\alpha$.

Question 5. b)

Le maximum de $f$ sur $]0\,;+\infty[$ est $f(\alpha)=\alpha^2+\alpha$.

La fonction $x\mapsto x^2+x$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$ (somme de deux fonctions strictement croissantes sur cet intervalle). On peut donc l'appliquer à l'encadrement $7{,}873<\alpha<7{,}874$ :

À la calculatrice : $7{,}873^2+7{,}873\approx69{,}857$ et $7{,}874^2+7{,}874\approx69{,}874$.

Donc

Remarque : l'encadrement $7{,}87<\alpha<7{,}88$ donnerait seulement $69{,}80<f(\alpha)<69{,}98$, d'amplitude supérieure à $0{,}1$. D'où l'encadrement plus fin de $\alpha$.

Donc le maximum de $f$ est compris entre $69{,}8$ et $69{,}9$.

Réponse : $69{,}8<\max f<69{,}9$.

Points clés attendus

• Limite en $0$ par croissances comparées ($x^2\ln x\to0$)   limite en $+\infty$ en factorisant par $x^2$.

• Dériver $x^2\ln x$ avec la formule du produit, et conduire les calculs de $f'$ et $f''$ sans erreur de signe.

• Relier convexité et signe de $f''$ pour répondre sur la position de la courbe par rapport à ses tangentes.

• Théorème des valeurs intermédiaires (corollaire) avec continuité, stricte monotonie et signes aux bornes, pour l'unicité de $\alpha$   ne pas oublier de traiter $]0\,;\mathrm{e}]$.

• Utiliser $f'(\alpha)=0$ pour remplacer $\ln(\alpha)$ et obtenir $f(\alpha)=\alpha^2+\alpha$, puis un encadrement du maximum.

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