Bac 2023, Nouvelle-Calédonie : exercice 2

Question 1. a)

On a $u_0=3$ et $u_{n+1}=5u_n-4n-3$. Pour $n=0$ :

Donc $u_1=12$.

Question 1. b)

Pour $n=1$ :

Donc $u_2=53$.

Réponse : $u_2=53$.

Question 1. c)

À la calculatrice, on obtient les premiers termes :

Ces termes augmentent, et de plus en plus vite.

Donc on conjecture que la suite $(u_n)$ est strictement croissante et que $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty$.

Question 2. a)

Pour tout entier naturel $n$, on note $P(n)$ la propriété $u_n\geqslant n+1$.

Initialisation. On a $u_0=3$ et $0+1=1$. Comme $3\geqslant1$, $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire $u_k\geqslant k+1$ (hypothèse de récurrence). Montrons que $P(k+1)$ est vraie, c'est-à-dire $u_{k+1}\geqslant k+2$.

On multiplie les deux membres de l'hypothèse de récurrence par $5>0$, ce qui conserve le sens de l'inégalité :

On soustrait $4k+3$ à chaque membre :

Donc $u_{k+1}\geqslant(k+1)+1$ : $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.

Donc, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant n+1$.

Question 2. b)

D'après la question 2. a), pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant n+1$.

On a $\lim\limits_{n\to+\infty}(n+1)=+\infty$.

D'après le théorème de comparaison (si $u_n\geqslant w_n$ à partir d'un certain rang et $\lim w_n=+\infty$, alors $\lim u_n=+\infty$), on obtient

Donc la suite $(u_n)$ diverge vers $+\infty$.

Réponse : $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty$.

Question 3. a)

Pour tout entier naturel $n$, on exprime $v_{n+1}$ à l'aide de la définition de $(v_n)$ et de la relation de récurrence :

Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $5$.

Son premier terme est

Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $5$ et de premier terme $v_0=2$.

Question 3. b)

Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $v_0$ et de raison $q$ est $v_n=v_0\times q^n$.

Donc, pour tout entier naturel $n$,

Question 3. c)

Par définition, $v_n=u_n-n-1$. Donc $u_n=v_n+n+1$.

Avec l'expression de la question 3. b) :

Donc, pour tout entier naturel $n$, $u_n=2\times5^n+n+1$.

Question 3. d)

Pour tout entier naturel $n$, on calcule la différence de deux termes consécutifs :

Comme $5^n>0$, on a $8\times5^n+1>0$.

Donc $u_{n+1}-u_n>0$ pour tout entier naturel $n$.

Donc la suite $(u_n)$ est strictement croissante, ce qui confirme la conjecture de la question 1. c).

Question 4. a)

La fonction doit renvoyer le plus petit entier $n$ tel que $u_n\geqslant10^7$. On fait donc tourner la boucle tant que $u<10^7$, et dans la boucle on remplace $u$ par le terme suivant, $5u-4n-3$, avant d'incrémenter $n$ (l'instruction utilise la valeur de $n$ avant incrémentation, ce qui correspond à $u_{n+1}=5u_n-4n-3$).

Programme complété :

def suite() :
    u = 3
    n = 0
    while u < 10**7 :
        u = 5*u - 4*n - 3
        n = n + 1
    return n

Question 4. b)

La suite $(u_n)$ est strictement croissante (question 3. d). La fonction renvoie donc le premier entier $n$ pour lequel $u_n\geqslant10^7$.

On calcule avec l'expression de la question 3. c) :

Donc la valeur renvoyée par la fonction est $10$.

Réponse : la fonction renvoie $10$.

Points clés attendus

• Détailler les calculs de $u_1$ et $u_2$ en remplaçant $n$ par sa valeur.

• Rédiger la récurrence en trois temps, en précisant que la multiplication par $5>0$ conserve le sens de l'inégalité.

• Citer le théorème de comparaison pour la limite infinie.

• Pour la suite géométrique, calculer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$ et donner raison et premier terme.

• Compléter correctement la condition de boucle et la mise à jour de $u$ (avec $n$ avant incrémentation), puis justifier la valeur renvoyée par un calcul de $u_9$ et $u_{10}$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.