Bac 2023, Métropole : exercice 1

Question 1. Réponse c.

L'évènement « le joueur choisit le monde A et gagne la partie » est $A\cap G$.

D'après la formule des probabilités composées (définition de la probabilité conditionnelle), on a

On lit dans l'énoncé $P(A)=\dfrac25$ et $P_A(G)=\dfrac7{10}$. Donc

Donc la probabilité que le joueur choisisse le monde A et gagne la partie est $\dfrac{7}{25}$.

Les autres propositions sont écartées : la valeur $\dfrac7{10}$ est $P_A(G)$, et non $P(A\cap G)$.

Réponse : $\dfrac{7}{25}$, soit la proposition c.

Question 2. Réponse b.

Les évènements $A$ et $B$ sont incompatibles et leur réunion est l'univers : ils forment une partition de l'univers.

D'après la formule des probabilités totales,

On connaît $P(G)=\dfrac{12}{25}$ et, d'après la question 1, $P(A\cap G)=\dfrac7{25}$. Donc

De plus, $B$ est l'évènement contraire de $A$, donc

Comme $P(B)\neq0$, la probabilité conditionnelle de $G$ sachant $B$ est définie et vaut

Donc la probabilité que le joueur gagne sachant qu'il a choisi le monde B est $\dfrac13$.

Réponse : $P_B(G)=\dfrac13$, soit la proposition b.

Question 3. Réponse c.

Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées sur les $10$ parties.

Le joueur effectue $10$ parties successives, assimilées à un tirage avec remise : ce sont $10$ épreuves identiques et indépendantes. Chacune n'a que deux issues, « gagner » (succès) de probabilité $p=\dfrac{12}{25}$, ou « perdre ».

Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=\dfrac{12}{25}$ :

Pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $10$, on a $P(X=k)=\binom{10}{k}p^k(1-p)^{10-k}$. Donc

À la calculatrice, on obtient $P(X=6)\approx0{,}18779$, soit $0{,}188$ arrondi au millième.

Donc la probabilité que le joueur gagne exactement $6$ parties est environ $0{,}188$.

La proposition d. ($0{,}187$) est écartée car la valeur approchée $0{,}18779$ s'arrondit à $0{,}188$.

Réponse : $P(X=6)\approx0{,}188$, soit la proposition c.

Question 4. Réponse b.

On reprend la variable $X$ de loi $\mathcal{B}\left(10\,;\,\dfrac{12}{25}\right)$. La calculatrice donne les probabilités cumulées suivantes, arrondies au millième :

• $P(X\leqslant2)\approx0{,}070$

• $P(X\leqslant3)\approx0{,}207$

• $P(X\leqslant4)\approx0{,}427$.

La fonction $k\longmapsto P(X\leqslant k)$ est croissante, donc les valeurs pour $n=2$ et $n\geqslant4$ ne peuvent pas être égales à $0{,}207$. Seule la valeur $n=3$ convient.

Donc l'entier $n$ cherché est $3$.

Réponse : $n=3$, soit la proposition b.

Question 5. Réponse d.

Soit $X$ la variable aléatoire de la question 3. L'évènement « le joueur gagne au moins une partie » est $\{X\geqslant1\}$.

Son évènement contraire est $\{X=0\}$ : « le joueur ne gagne aucune partie », c'est-à-dire qu'il perd les $10$ parties.

Les parties sont indépendantes et la probabilité de perdre une partie est $1-\dfrac{12}{25}=\dfrac{13}{25}$. Donc

Donc

Donc la probabilité que le joueur gagne au moins une partie est $1-\left(\dfrac{13}{25}\right)^{10}$.

Réponse : $1-\left(\dfrac{13}{25}\right)^{10}$, soit la proposition d.

Points clés attendus

• Traduire les données de l'énoncé en probabilités (probabilité conditionnelle $P_A(G)$) et citer la formule $P(A\cap G)=P(A)\times P_A(G)$.

• Citer la formule des probabilités totales avec la partition $\{A\,;B\}$ pour obtenir $P(B\cap G)$, puis calculer $P_B(G)=\dfrac{P(B\cap G)}{P(B)}$.

• Justifier la loi binomiale : $10$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de probabilité de succès $\dfrac{12}{25}$.

• Utiliser la calculatrice avec les bons paramètres $\left(10\,;\dfrac{12}{25}\right)$ et respecter l'arrondi au millième.

• Passer par l'évènement contraire pour « au moins une partie gagnée ».

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.