Bac 2023, Métropole : exercice 2

Partie A

Question 1.

Augmenter une quantité de $60\,\%$ revient à la multiplier par

Donc, pour tout entier naturel $n$, le nombre d'insectes au bout de $n+1$ mois s'obtient à partir de celui au bout de $n$ mois par

La suite $(u_n)$ est donc géométrique de raison $q=1{,}6$ et de premier terme $u_0=0{,}1$.

D'après l'expression du terme général d'une suite géométrique, pour tout entier naturel $n$ :

Donc, pour tout entier naturel $n$, $u_n=0{,}1\times 1{,}6^n$.

Question 2.

La suite $\left(1{,}6^n\right)$ est une suite géométrique de raison $1{,}6$.

Comme $1{,}6>1$, on a

Par produit par la constante strictement positive $0{,}1$, on obtient

Donc la suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$.

Réponse : $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty$.

Question 3.

On résout l'inéquation $u_n>0{,}4$ d'inconnue $n\in\mathbb{N}$.

La première équivalence s'obtient en multipliant par $10>0$. La deuxième utilise la stricte croissance de la fonction $\ln$ sur $]0\,;+\infty[$.

Comme $1{,}6>1$, on a $\ln(1{,}6)>0$. On peut donc diviser par $\ln(1{,}6)$ sans changer le sens de l'inégalité :

Le plus petit entier naturel strictement supérieur à $2{,}95$ est $3$.

Vérification : $u_2=0{,}1\times1{,}6^2=0{,}256\leqslant0{,}4$ et $u_3=0{,}1\times1{,}6^3=0{,}4096>0{,}4$.

Donc le plus petit entier $n$ à partir duquel $u_n>0{,}4$ est $n=3$.

Réponse : $n=3$.

Question 4.

Le nombre $0{,}4$ million correspond à $400\,000$ insectes, seuil à ne pas dépasser.

D'après la question 3, $u_3>0{,}4$. De plus, la suite $(u_n)$ est strictement croissante puisque sa raison est $1{,}6>1$ et que $u_0>0$. Donc $u_n>0{,}4$ pour tout $n\geqslant3$.

D'après la question 2, la suite tend même vers $+\infty$.

Donc, selon ce premier modèle, le nombre d'insectes dépasse $400\,000$ dès le troisième mois et ne cesse de croître : l'équilibre du milieu naturel ne serait pas préservé.

Partie B

Question 1.

On a $v_0=0{,}1$ et $v_1=1{,}6\,v_0-1{,}6\,v_0^2$. Donc

Donc, au bout d'un mois, il y a $0{,}144$ million d'insectes, soit $144\,000$ insectes.

Réponse : $v_1=0{,}144$.

Question 2. a)

On résout l'équation $f(x)=x$ sur $\left[0\,;\dfrac12\right]$.

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul. Donc

Les deux nombres $0$ et $\dfrac38=0{,}375$ appartiennent bien à l'intervalle $\left[0\,;\dfrac12\right]$.

Donc l'équation $f(x)=x$ a pour ensemble de solutions $\left\{0\,;\dfrac38\right\}$.

Réponse : $x=0$ ou $x=\dfrac38$.

Question 2. b)

La fonction $f$ est une fonction polynôme, donc dérivable sur $\left[0\,;\dfrac12\right]$.

Pour tout $x\in\left[0\,;\dfrac12\right]$ :

Pour tout $x\in\left[0\,;\dfrac12\right]$, on a $x\leqslant\dfrac12$, donc $\dfrac12-x\geqslant0$. Comme $3{,}2>0$, on en déduit $f'(x)\geqslant0$.

La dérivée est positive sur l'intervalle, et ne s'annule qu'en $\dfrac12$. Donc $f$ est croissante sur $\left[0\,;\dfrac12\right]$.

Question 3. a)

Pour tout entier naturel $n$, on note $\mathcal{P}(n)$ la propriété

Initialisation.

On a $v_0=0{,}1$ et, d'après la question 1, $v_1=0{,}144$. Donc

c'est-à-dire $0\leqslant v_0\leqslant v_1\leqslant\dfrac12$ : $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité.

Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $\mathcal{P}(k)$ soit vraie, c'est-à-dire

(hypothèse de récurrence). Montrons que $\mathcal{P}(k+1)$ est vraie.

Les quatre nombres $0$, $v_k$, $v_{k+1}$ et $\dfrac12$ appartiennent à l'intervalle $\left[0\,;\dfrac12\right]$, sur lequel $f$ est croissante d'après la question 2. b). On applique $f$ à chaque membre en conservant le sens des inégalités :

Or :

• $f(0)=0$

• $f(v_k)=v_{k+1}$ et $f(v_{k+1})=v_{k+2}$ par définition de la suite

• $f\left(\dfrac12\right)=1{,}6\times\dfrac12-1{,}6\times\dfrac14=0{,}8-0{,}4=0{,}4\leqslant\dfrac12$.

On obtient donc

c'est-à-dire $0\leqslant v_{k+1}\leqslant v_{k+2}\leqslant\dfrac12$ : $\mathcal{P}(k+1)$ est vraie.

Conclusion.

$\mathcal{P}(0)$ est vraie et $\mathcal{P}$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.

Donc, pour tout entier naturel $n$, $0\leqslant v_n\leqslant v_{n+1}\leqslant\dfrac12$.

Question 3. b)

D'après la question précédente, pour tout entier naturel $n$ :

• $v_n\leqslant v_{n+1}$, donc la suite $(v_n)$ est croissante

• $v_n\leqslant\dfrac12$, donc la suite $(v_n)$ est majorée par $\dfrac12$.

D'après le théorème de la limite monotone (toute suite croissante et majorée converge), la suite $(v_n)$ est convergente.

Question 3. c)

On note $\ell$ la limite de $(v_n)$. On admet que $\ell$ est solution de l'équation $f(x)=x$. D'après la question 2. a), $\ell=0$ ou $\ell=\dfrac38$.

La suite $(v_n)$ est croissante, donc pour tout entier naturel $n$, $v_n\geqslant v_0=0{,}1$. Par passage à la limite dans une inégalité large, $\ell\geqslant0{,}1$.

Donc $\ell\neq0$, et par conséquent

Cette limite correspond à $375\,000$ insectes. Comme $375\,000<400\,000$, et que la suite est croissante et majorée par sa limite, le nombre d'insectes ne dépasse jamais $400\,000$.

Donc, selon ce second modèle, l'équilibre du milieu naturel sera préservé.

Réponse : $\ell=\dfrac38=0{,}375$   l'équilibre est préservé.

Question 4. a)

La fonction seuil(a) renvoie le plus petit entier $n$ tel que $v_n\geqslant a$, tant que la boucle while v se termine.

Pour seuil(0.4), la condition de boucle est v<0.4.

La suite $(v_n)$ est croissante de limite $0{,}375$, donc $v_n\leqslant0{,}375<0{,}4$ pour tout entier naturel $n$. La condition v<0.4 reste donc vraie à chaque passage.

Donc, si on saisit seuil(0.4), la boucle ne s'arrête jamais : le programme ne se termine pas et ne renvoie aucune valeur.

Question 4. b)

Pour seuil(0.35), la variable v prend successivement les valeurs $v_0$, $v_1$, …, et n compte le nombre de passages dans la boucle. On calcule les termes :

$$\begin{aligned} v_4&\approx0{,}3026<0{,}35,\\ v_5&\approx0{,}3377<0{,}35,\\ v_6&\approx0{,}3578\geqslant0{,}35. \end{aligned}$$

La boucle continue tant que $v<0{,}35$, donc elle s'arrête dès que $v_n\geqslant0{,}35$, c'est-à-dire pour $n=6$ (la suite étant croissante, les termes précédents sont tous inférieurs à $0{,}35$).

Donc la saisie de seuil(0.35) renvoie $6$.

Interprétation : c'est au bout de $6$ mois que le nombre d'insectes dépasse $350\,000$ pour la première fois.

Réponse : seuil(0.35) renvoie $6$.

Points clés attendus

• Reconnaître une suite géométrique (Partie A) et résoudre l'inéquation avec le logarithme, en justifiant que $\ln(1{,}6)>0$.

• Dans la récurrence, citer la croissance de $f$ sur $\left[0\,;\dfrac12\right]$ et utiliser $f(v_k)=v_{k+1}$ et $f\left(\dfrac12\right)=0{,}4\leqslant\dfrac12$.

• Citer le théorème de la limite monotone (suite croissante et majorée) avant d'affirmer la convergence.

• Éliminer la solution $0$ en utilisant que la suite est croissante et que $v_0=0{,}1$.

• Pour le programme Python, justifier que la boucle ne s'arrête pas pour $0{,}4$ (limite $0{,}375$) et lister les termes pour $0{,}35$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.