Bac 2023, Métropole : exercice 4

Question 1. a)

On cherche $\lim\limits_{x\to-\infty}\ln\left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)$.

Quand $x\to-\infty$, on a $-x\to+\infty$. Par limite de la fonction exponentielle en $+\infty$,

Par ailleurs $\lim\limits_{X\to+\infty}\ln X=+\infty$. D'après le théorème sur la limite d'une composée, avec $X=1+\mathrm{e}^{-x}$ :

Donc la limite de $f$ en $-\infty$ est $+\infty$.

Réponse : $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$.

Question 1. b)

Quand $x\to+\infty$, on a $-x\to-\infty$, donc

La fonction $\ln$ est continue en $1$ et $\ln 1=0$. D'après le théorème sur la limite d'une composée, avec $X=1+\mathrm{e}^{-x}$ :

Interprétation graphique : la courbe $\mathcal{C}$ admet pour asymptote horizontale, en $+\infty$, la droite d'équation $y=0$ (l'axe des abscisses).

Réponse : $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0$   asymptote horizontale $y=0$ en $+\infty$.

Question 1. c)

On écrit $f=\ln u$ avec $u(x)=1+\mathrm{e}^{-x}$. La fonction $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et strictement positive sur $\mathbb{R}$, car $\mathrm{e}^{-x}>0$. La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$. Donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, et la formule de dérivation d'une composée donne $f'=\dfrac{u'}{u}$.

Or $u'(x)=-\mathrm{e}^{-x}$. Donc, pour tout réel $x$ :

On multiplie le numérateur et le dénominateur par $\mathrm{e}^{x}$, qui est non nul :

Donc, pour tout réel $x$, $f'(x)=\dfrac{-1}{1+\mathrm{e}^{x}}$.

Question 1. d)

Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^x>0$, donc $1+\mathrm{e}^x>0$. Comme le numérateur $-1$ est strictement négatif, on a $f'(x)<0$.

Donc $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.

Tableau de variations, décrit en phrases :

• en $-\infty$, la limite de $f$ est $+\infty$ (question 1. a)

• $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$, avec en particulier $f(0)=\ln\left(1+\mathrm{e}^{0}\right)=\ln2$

• en $+\infty$, la limite de $f$ est $0$ (question 1. b).

Donc $f$ décroît de $+\infty$ à $0$ sur $\mathbb{R}$, sans s'annuler : $f(x)>0$ pour tout réel $x$, car $1+\mathrm{e}^{-x}>1$.

Question 2. a)

La tangente $T_0$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ a pour équation $y=f'(0)(x-0)+f(0)$.

On a

Donc $T_0$ a pour équation

Réponse : $T_0\,:\ y=-\dfrac12x+\ln2$.

Question 2. b)

On écrit $f'(x)=-\left(1+\mathrm{e}^{x}\right)^{-1}$. La fonction $x\mapsto1+\mathrm{e}^x$ est dérivable et strictement positive sur $\mathbb{R}$, donc $f'$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. En dérivant $\dfrac{-1}{v}$ avec $v(x)=1+\mathrm{e}^{x}$, dont la dérivée est $v'(x)=\mathrm{e}^x$, on obtient

Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^x>0$ et $\left(1+\mathrm{e}^x\right)^2>0$, donc $f''(x)>0$.

Une fonction deux fois dérivable dont la dérivée seconde est positive est convexe. Donc $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$.

Question 2. c)

La fonction $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$ (question 2. b) : sa courbe $\mathcal{C}$ est située au-dessus de chacune de ses tangentes, en particulier au-dessus de $T_0$.

Donc, pour tout réel $x$, $f(x)\geqslant-\dfrac12x+\ln2$.

Question 3. a)

Pour tout réel $x$, on a $f(-x)=\ln\left(1+\mathrm{e}^{x}\right)$. Les deux quantités $1+\mathrm{e}^{-x}$ et $1+\mathrm{e}^{x}$ sont strictement positives, donc on peut utiliser $\ln a-\ln b=\ln\dfrac ab$ :

On factorise le numérateur : $1+\mathrm{e}^{-x}=\mathrm{e}^{-x}\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)$. Donc

Donc, pour tout réel $x$, $f(x)-f(-x)=-x$.

Question 3. b)

Soit $a\neq0$. Les points $M_a(-a\,;f(-a))$ et $N_a(a\,;f(a))$ ont des abscisses distinctes ($-a\neq a$), donc la droite $\left(M_aN_a\right)$ n'est pas verticale. Son coefficient directeur est

en utilisant la question 3. a) avec $x=a$.

La tangente $T_0$ a pour coefficient directeur $-\dfrac12$ (question 2. a).

Deux droites non verticales qui ont le même coefficient directeur sont parallèles. Donc les droites $T_0$ et $\left(M_aN_a\right)$ sont parallèles.

Points clés attendus

• Limites obtenues par composition : citer la limite de la fonction exponentielle puis celle de $\ln$ (ou sa continuité en $1$), et interpréter la limite en $+\infty$ comme une asymptote.

• Dérivée d'une composée $\ln u$ et justification de $u>0$   transformation de l'expression pour retrouver la forme demandée.

• Signe de $f'$ justifié par la positivité de $1+\mathrm{e}^x$ avant de conclure sur les variations.

• Convexité justifiée par le signe de $f''$, puis position de la courbe par rapport à sa tangente.

• Calcul propre de $f(x)-f(-x)$ avec les propriétés du logarithme, puis comparaison des coefficients directeurs.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.