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Terminale Spé Maths / Chapitre 11 : Orthogonalité et distances dans l'espace / Annales du bac

Bac 2023, Métropole : exercice 4

12 septembre 2023 · jour 2 · 5 points QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O ; ı⃗, ȷ⃗, k⃗)\left(\mathrm{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right).

On considère :

les points A(−1  ;  −2  ;  3)(-1\;;\;-2\;;\;3), B(1  ;  −2  ;  7)(1\;;\;-2\;;\;7) et C(1  ;  0  ;  2)(1\;;\;0\;;\;2)

la droite Δ\Delta de représentation paramétrique :   {x=1−ty=2z=−4+3t\left\{\begin{array}{l}x=1-t \\ y=2 \\ z=-4+3 t\end{array}\right., où t∈Rt \in \mathbb{R}

le plan P\mathcal{P} d'équation cartésienne :  3x+2y+z−4=03 x+2 y+z-4=0

le plan Q\mathcal{Q} d'équation cartésienne :   −6x−4y−2z+7=0-6 x-4 y-2 z+7=0.

  1. Lequel des points suivants appartient au plan P\mathcal{P} ?

    a.R(1  ;  −3  ;  1)R(1\;;\;-3\;;\;1) b.S(1  ;  2  ;  −1)S(1\;;\;2\;;\;-1) c.T(1  ;  0  ;  1)T(1\;;\;0\;;\;1) d.U(2  ;  −1  ;  1)U(2\;;\;-1\;;\;1).

  2. Le triangle ABC est :

    a.équilatéral  b.rectangle isocèle  
    c.isocèle non rectangle  d.rectangle non isocèle.

  3. La droite Δ\Delta est :

    a.orthogonale au plan P\mathcal{P}  b.sécante au plan P\mathcal{P}  
    c.incluse dans le plan P\mathcal{P}  d.strictement parallèle au plan P\mathcal{P}.

  4. On donne le produit scalaire BA→⋅BC→=20\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=20.

    Une mesure au degré près de l'angle ABC^\widehat{\mathrm{ABC}} est :

    a.34∘34^{\circ} b.120∘120^{\circ} c.90∘90^{\circ} d.0∘0^{\circ}.

  5. L'intersection des plans P\mathcal{P} et Q\mathcal{Q} est :

    a.un plan  b.l'ensemble vide  
    c.une droite  d.réduite à un point.
Voir le corrigé

Question 1. Réponse c.

Un point appartient à P\mathcal{P} si et seulement si ses coordonnées vérifient 3x+2y+z−4=03x+2y+z-4=0.

On teste chaque point.

Pour R(1 ;−3 ;1)(1\,;-3\,;1) : 3×1+2×(−3)+1−4=3−6+1−4=−6≠03\times 1+2\times(-3)+1-4=3-6+1-4=-6\neq 0.

Pour S(1 ;2 ;−1)(1\,;2\,;-1) : 3×1+2×2+(−1)−4=3+4−1−4=2≠03\times 1+2\times 2+(-1)-4=3+4-1-4=2\neq 0.

Pour T(1 ;0 ;1)(1\,;0\,;1) : 3×1+2×0+1−4=3+0+1−4=03\times 1+2\times 0+1-4=3+0+1-4=0.

Pour U(2 ;−1 ;1)(2\,;-1\,;1) : 3×2+2×(−1)+1−4=6−2+1−4=1≠03\times 2+2\times(-1)+1-4=6-2+1-4=1\neq 0.

Seules les coordonnées de T vérifient l'équation de P\mathcal{P}.

Donc le point qui appartient au plan P\mathcal{P} est T(1 ;0 ;1)(1\,;0\,;1).

Réponse : c.

Question 2. Réponse d.

On calcule les coordonnées des vecteurs :

AB→(1−(−1) ; −2−(−2) ; 7−3)=(2 ;0 ;4),\overrightarrow{\mathrm{AB}}(1-(-1)\,;\,-2-(-2)\,;\,7-3)=(2\,;0\,;4),
AC→(1−(−1) ; 0−(−2) ; 2−3)=(2 ;2 ;−1),\overrightarrow{\mathrm{AC}}(1-(-1)\,;\,0-(-2)\,;\,2-3)=(2\,;2\,;-1),
BC→(1−1 ; 0−(−2) ; 2−7)=(0 ;2 ;−5).\overrightarrow{\mathrm{BC}}(1-1\,;\,0-(-2)\,;\,2-7)=(0\,;2\,;-5).

On en déduit les carrés des longueurs :

AB2=22+02+42=20,AC2=22+22+(−1)2=9,BC2=02+22+(−5)2=29.\mathrm{AB}^2=2^2+0^2+4^2=20,\qquad \mathrm{AC}^2=2^2+2^2+(-1)^2=9,\qquad \mathrm{BC}^2=0^2+2^2+(-5)^2=29.

On a AB2+AC2=20+9=29=BC2\mathrm{AB}^2+\mathrm{AC}^2=20+9=29=\mathrm{BC}^2.

D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

Les trois longueurs AB=20\mathrm{AB}=\sqrt{20}, AC=3\mathrm{AC}=3 et BC=29\mathrm{BC}=\sqrt{29} sont deux à deux distinctes : le triangle n'est ni équilatéral ni isocèle.

Donc le triangle ABC est rectangle non isocèle. Les réponses a, b et c sont éliminées.

Réponse : d.

Question 3. Réponse d.

Un vecteur directeur de Δ\Delta se lit sur la représentation paramétrique : u⃗(−1 ;0 ;3)\vec{u}(-1\,;0\,;3).

Un vecteur normal au plan P\mathcal{P} se lit sur son équation cartésienne : n⃗(3 ;2 ;1)\vec{n}(3\,;2\,;1).

On calcule le produit scalaire :

u⃗⋅n⃗=(−1)×3+0×2+3×1=−3+0+3=0.\vec{u}\cdot\vec{n}=(-1)\times 3+0\times 2+3\times 1=-3+0+3=0.

Les vecteurs u⃗\vec{u} et n⃗\vec{n} sont orthogonaux, donc la droite Δ\Delta est parallèle au plan P\mathcal{P} (strictement parallèle ou incluse dans P\mathcal{P}).

Par conséquent Δ\Delta n'est ni orthogonale à P\mathcal{P} ni sécante à P\mathcal{P} : les réponses a et b sont éliminées.

Pour distinguer les deux cas restants, on teste un point de Δ\Delta. Pour t=0t=0, on obtient le point (1 ;2 ;−4)(1\,;2\,;-4).

On a

3×1+2×2+(−4)−4=3+4−4−4=−1≠0.3\times 1+2\times 2+(-4)-4=3+4-4-4=-1\neq 0.

Ce point n'appartient pas à P\mathcal{P}, donc Δ\Delta n'est pas incluse dans P\mathcal{P} : la réponse c est éliminée.

Donc la droite Δ\Delta est strictement parallèle au plan P\mathcal{P}.

Réponse : d.

Question 4. Réponse a.

On calcule les coordonnées des vecteurs :

BA→(−1−1 ; −2−(−2) ; 3−7)=(−2 ;0 ;−4),BC→(0 ;2 ;−5).\overrightarrow{\mathrm{BA}}(-1-1\,;\,-2-(-2)\,;\,3-7)=(-2\,;0\,;-4),\qquad \overrightarrow{\mathrm{BC}}(0\,;2\,;-5).

On en déduit les normes :

BA=(−2)2+02+(−4)2=20,BC=02+22+(−5)2=29.\mathrm{BA}=\sqrt{(-2)^2+0^2+(-4)^2}=\sqrt{20},\qquad \mathrm{BC}=\sqrt{0^2+2^2+(-5)^2}=\sqrt{29}.

On vérifie le produit scalaire donné : BA→⋅BC→=(−2)×0+0×2+(−4)×(−5)=20\overrightarrow{\mathrm{BA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}=(-2)\times 0+0\times 2+(-4)\times(-5)=20.

Par définition du produit scalaire, BA→⋅BC→=BA×BC×cos⁡ABC^\overrightarrow{\mathrm{BA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\mathrm{BA}\times\mathrm{BC}\times\cos\widehat{\mathrm{ABC}}.

Donc

cos⁡ABC^=BA→⋅BC→BA×BC=2020×29=20580≈0,8305.\cos\widehat{\mathrm{ABC}}=\dfrac{\overrightarrow{\mathrm{BA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}}{\mathrm{BA}\times\mathrm{BC}}=\dfrac{20}{\sqrt{20}\times\sqrt{29}}=\dfrac{20}{\sqrt{580}}\approx 0{,}8305.

À la calculatrice, en mode degrés, ABC^=arccos⁡(20580)≈33,85∘\widehat{\mathrm{ABC}}=\arccos\left(\dfrac{20}{\sqrt{580}}\right)\approx 33{,}85^{\circ}.

Au degré près, ABC^≈34∘\widehat{\mathrm{ABC}}\approx 34^{\circ}.

Les valeurs 90∘90^{\circ} et 0∘0^{\circ} correspondraient à un cosinus égal à 00 ou à 11, et 120∘120^{\circ} à un cosinus négatif : elles sont éliminées.

Réponse : a (34∘34^{\circ}).

Question 5. Réponse b.

Le plan P\mathcal{P} a pour vecteur normal n⃗(3 ;2 ;1)\vec{n}(3\,;2\,;1).

Le plan Q\mathcal{Q} a pour vecteur normal n′⃗(−6 ;−4 ;−2)\vec{n'}(-6\,;-4\,;-2).

On a n′⃗=−2 n⃗\vec{n'}=-2\,\vec{n} : les vecteurs normaux sont colinéaires, donc les plans P\mathcal{P} et Q\mathcal{Q} sont parallèles.

Ils sont soit confondus, soit strictement parallèles. L'équation de Q\mathcal{Q} équivaut à

3x+2y+z=72,3x+2y+z=\dfrac{7}{2},
tandis que celle de P\mathcal{P} équivaut à
3x+2y+z=4.3x+2y+z=4.

Comme 72≠4\dfrac{7}{2}\neq 4, aucun point ne vérifie les deux équations à la fois : les plans ne sont pas confondus.

Donc les plans P\mathcal{P} et Q\mathcal{Q} sont strictement parallèles et leur intersection est l'ensemble vide.

Réponse : b.

Points clés attendus

  • Question 1 : substituer les coordonnées de chaque point dans l'équation cartésienne.

  • Question 2 : calculer les trois longueurs et citer la réciproque du théorème de Pythagore, puis comparer les longueurs pour exclure le caractère isocèle.

  • Question 3 : produit scalaire nul entre vecteur directeur et vecteur normal, puis test d'un point de la droite pour distinguer inclusion et parallélisme strict.

  • Question 4 : utiliser cos⁡ABC^=BA→⋅BC→BA×BC\cos\widehat{\mathrm{ABC}}=\dfrac{\overrightarrow{\mathrm{BA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}}{\mathrm{BA}\times\mathrm{BC}} et arrondir au degré.

  • Question 5 : colinéarité des vecteurs normaux, puis comparaison des équations pour exclure des plans confondus.

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Comment t'entraîner

Chronomètre-toi, rédige sur papier comme le jour du bac, puis seulement après regarde le cours. Si tu bloques sur une question, écris « on admet que… » et passe à la suivante.

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Revoir le cours

Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2023 (Métropole, 12 septembre 2023 (jour 2)), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (Denis Vergès) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

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