Bac 2023, Métropole : exercice 2

Question 1. a)

Le coefficient directeur de la tangente à $C$ au point d'abscisse $1$ est le nombre dérivé $f'(1)$.

La courbe $C'$ représente la fonction $f'$ : $f'(1)$ est l'ordonnée du point de $C'$ d'abscisse $1$.

Par lecture graphique, ce point a pour ordonnée $2$.

Donc le coefficient directeur de la tangente à $C$ au point d'abscisse $1$ est $f'(1)\approx2$.

Réponse : $f'(1)\approx2$.

Question 1. b)

La fonction $f$ est convexe sur un intervalle si et seulement si sa dérivée $f'$ est croissante sur cet intervalle.

Sur le graphique, la courbe $C'$ est décroissante jusqu'au point où elle admet la tangente horizontale (T), puis croissante après ce point. Ce point a une abscisse d'environ $7{,}4$ (trait pointillé).

Donc $f'$ est croissante sur $[7{,}4\,;+\infty[$ environ, et ne l'est pas sur un intervalle plus grand.

Donc, par lecture graphique, le plus grand intervalle sur lequel $f$ est convexe est environ $[7{,}4\,;+\infty[$.

Réponse : environ $[7{,}4\,;+\infty[$.

Question 2. a)

Pour tout $x>0$, posons $X=\ln x$. Alors $f(x)=(2-X)X=2X-X^2=X^2\left(\dfrac2X-1\right)$ pour $X\neq0$.

On a $\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$, donc $X\to+\infty$ quand $x\to+\infty$.

Or $\lim\limits_{X\to+\infty}X^2=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to+\infty}\left(\dfrac2X-1\right)=-1$. Par produit de limites :

Par limite d'une composée, $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$.

Donc $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$.

Réponse : $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$.

Question 2. b)

On a $\lim\limits_{x\to0^+}\ln x=-\infty$.

Donc $\lim\limits_{x\to0^+}\left(2-\ln x\right)=+\infty$.

Le facteur $\ln x$ tend vers $-\infty$ et le facteur $2-\ln x$ tend vers $+\infty$. Par produit de limites :

Interprétation graphique : la courbe $C$ admet pour asymptote verticale la droite d'équation $x=0$, c'est-à-dire l'axe des ordonnées.

Donc $\lim\limits_{x\to0}f(x)=-\infty$ (avec $x>0$), et l'axe des ordonnées est asymptote verticale à $C$.

Réponse : $\lim\limits_{x\to0}f(x)=-\infty$   asymptote verticale d'équation $x=0$.

Question 3.

Les points d'intersection de $C$ avec l'axe des abscisses ont pour abscisses les solutions de $f(x)=0$ sur $]0\,;+\infty[$.

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul :

On résout chaque équation :

• $\ln x=0\iff x=1$

• $2-\ln x=0\iff\ln x=2\iff x=\mathrm{e}^{2}$.

Ces deux solutions sont bien dans $]0\,;+\infty[$ et sont les seules.

Donc la courbe $C$ coupe l'axe des abscisses en exactement deux points : $(1\,;0)$ et $(\mathrm{e}^{2}\,;0)$.

Question 4. a)

La fonction $f$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$. Posons $u(x)=2-\ln x$ et $v(x)=\ln x$, dérivables sur $]0\,;+\infty[$, avec $u'(x)=-\dfrac1x$ et $v'(x)=\dfrac1x$.

D'après la formule $(uv)'=u'v+uv'$ :

On met au même dénominateur :

Donc, pour tout $x>0$, $f'(x)=\dfrac{2(1-\ln x)}{x}$.

Question 4. b)

Pour tout $x>0$, on a $2>0$ et $x>0$. Donc $f'(x)$ a le même signe que $1-\ln x$.

On a

car la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. De même, $1-\ln x=0\iff x=\mathrm{e}$.

Donc :

• $f'(x)>0$ pour $x\in\,]0\,;\mathrm{e}[$ : $f$ est strictement croissante sur $]0\,;\mathrm{e}]$

• $f'(\mathrm{e})=0$

• $f'(x)<0$ pour $x\in\,]\mathrm{e}\,;+\infty[$ : $f$ est strictement décroissante sur $[\mathrm{e}\,;+\infty[$.

La valeur au maximum est $f(\mathrm{e})=(2-\ln\mathrm{e})\times\ln\mathrm{e}=(2-1)\times1=1$.

D'après les questions 2. a) et 2. b), $\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$.

Donc le tableau de variations de $f$ est : $f$ croît de $-\infty$ (en $0^+$) jusqu'à son maximum $f(\mathrm{e})=1$ sur $]0\,;\mathrm{e}]$, puis décroît de $1$ jusqu'à $-\infty$ (en $+\infty$) sur $[\mathrm{e}\,;+\infty[$.

Question 5.

On admet que, pour tout $x>0$, $f''(x)=\dfrac{2(\ln x-2)}{x^{2}}$.

Pour tout $x>0$, $2>0$ et $x^2>0$. Donc $f''(x)$ a le même signe que $\ln x-2$.

On a

car la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Donc $f''(x)\leqslant0$ sur $]0\,;\mathrm{e}^{2}]$ et $f''(x)\geqslant0$ sur $[\mathrm{e}^{2}\,;+\infty[$.

La fonction $f$ est convexe sur un intervalle où $f''\geqslant0$. Donc $f$ est convexe sur $[\mathrm{e}^{2}\,;+\infty[$, et concave sur $]0\,;\mathrm{e}^{2}]$. Le plus grand intervalle de convexité est donc $[\mathrm{e}^{2}\,;+\infty[$. Comme $\mathrm{e}^2\approx7{,}39$, ce résultat est cohérent avec la lecture graphique de la question 1. b).

La dérivée seconde $f''$ s'annule en $\mathrm{e}^{2}$ en changeant de signe (négative avant, positive après) : la courbe $C$ admet un point d'inflexion d'abscisse $\mathrm{e}^{2}$.

Son ordonnée est $f(\mathrm{e}^{2})=(2-\ln\mathrm{e}^{2})\times\ln\mathrm{e}^{2}=(2-2)\times2=0$.

Donc $f$ est convexe sur $[\mathrm{e}^{2}\,;+\infty[$, et le point d'inflexion de $C$ est le point $(\mathrm{e}^{2}\,;0)$.

Réponse : convexe sur $[\mathrm{e}^{2}\,;+\infty[$   point d'inflexion $(\mathrm{e}^{2}\,;0)$.

Points clés attendus

• Question 1 : la lecture graphique porte sur $C'$ (courbe de $f'$) : $f'(1)$ pour le coefficient directeur, croissance de $f'$ pour la convexité de $f$.

• Question 2 : lever la forme indéterminée en 2. a) par factorisation, citer le produit et la composée de limites.

• Question 3 : résoudre $f(x)=0$ par un produit nul, en précisant les deux points.

• Question 4 : détailler la dérivée d'un produit et justifier le signe de $f'$ avec la stricte croissance de l'exponentielle.

• Question 5 : relier le signe de $f''$ à la convexité, et reconnaître le point d'inflexion à son changement de signe.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.