Terminale Spé Maths / Chapitre 11 : Orthogonalité et distances dans l'espace / Annales du bac

Bac 2023, Amérique du Sud : exercice 3

26 septembre 2023 · jour 1 · 5 points

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$ , on considère les points

A(0   4   16), B $(0\;;\;4\;;\;- 10)$ , C $(4\;;\;-8\;;\;0)$ et K(0   4   3).

On définit la sphère $S$ de centre K et de rayon 13 comme l'ensemble des points M tels que KM $= 13$ .

1. Vérifier que le point C appartient à la sphère S.
2. Montrer que le triangle ABC est rectangle en C.
1. Montrer que le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (ABC).
2. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).
On admet que la sphère $S$ coupe l'axe des abscisses en deux points, l'un ayant une abscisse positive et l'autre une abscisse négative.

On note D celui qui a une abscisse positive.
1. Montrer que le point D a pour coordonnées (12   0   0).
2. Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par D et perpendiculaire au plan (ABC).
3. Déterminer la distance du point D au plan (ABC).
Calculer une valeur approchée, à l'unité de volume près, du volume du tétraèdre ABCD.

On rappelle la formule du volume V d'un tétraèdre
$V = \dfrac13 \times \mathcal{B} \times h.$

où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur associée.

Voir le corrigé

Question 1. a)

On calcule les coordonnées de $\overrightarrow{KC}$ :

\overrightarrow{KC}\begin{pmatrix}4-0\\-8-4\\0-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-12\\-3\end{pmatrix}.

Le repère étant orthonormé :

KC=\sqrt{4^2+(-12)^2+(-3)^2}=\sqrt{16+144+9}=\sqrt{169}=13.

Donc $KC=13$ , qui est le rayon de $S$ : le point C appartient à la sphère $S$ .

Question 1. b)

On calcule les coordonnées de deux vecteurs issus de C :

\overrightarrow{CA}\begin{pmatrix}0-4\\4-(-8)\\16-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\12\\16\end{pmatrix},\qquad \overrightarrow{CB}\begin{pmatrix}0-4\\4-(-8)\\-10-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\12\\-10\end{pmatrix}.

Le repère étant orthonormé, le produit scalaire s'obtient par les coordonnées :

\begin{aligned} \overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}&=(-4)\times(-4)+12\times 12+16\times(-10)\\ &=16+144-160\\ &=0. \end{aligned}

Les vecteurs $\overrightarrow{CA}$ et $\overrightarrow{CB}$ sont non nuls et orthogonaux.

Donc le triangle ABC est rectangle en C.

Question 2. a)

On calcule deux vecteurs du plan (ABC) :

\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}0\\0\\-26\end{pmatrix},\qquad\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}4\\-12\\-16\end{pmatrix}.

Ils ne sont pas colinéaires : la première coordonnée de $\overrightarrow{AB}$ est nulle alors que celle de $\overrightarrow{AC}$ ne l'est pas, et $\overrightarrow{AB}\neq\vec 0$ . Donc A, B, C ne sont pas alignés et déterminent un plan.

On calcule les produits scalaires avec $\vec n\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}$ :

\begin{aligned} \vec n\cdot\overrightarrow{AB}&=3\times 0+1\times 0+0\times(-26)=0,\\ \vec n\cdot\overrightarrow{AC}&=3\times 4+1\times(-12)+0\times(-16)=12-12=0. \end{aligned}

Le vecteur $\vec n$ est non nul et orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC).

Donc $\vec n$ est un vecteur normal au plan (ABC).

Question 2. b)

Le plan (ABC) a pour vecteur normal $\vec n(3\,;1\,;0)$ . Il admet donc une équation cartésienne de la forme

3x+y+d=0,\qquad d\in\mathbb{R}.

Le point A $(0\,;4\,;16)$ appartient au plan : $3\times 0+4+d=0$ , donc $d=-4$ .

Une équation cartésienne du plan (ABC) est donc

3x+y-4=0.

Vérifications : pour B $(0\,;4\,;-10)$ , $0+4-4=0$   pour C $(4\,;-8\,;0)$ , $12-8-4=0$ .

Réponse : $3x+y-4=0$ .

Question 3. a)

Un point de l'axe des abscisses a pour coordonnées $(x\,;0\,;0)$ . Il appartient à $S$ si et seulement si $\text{K}M=13$ , soit $KM^2=169$ :

\begin{aligned} (x-0)^2+(0-4)^2+(0-3)^2=169&\iff x^2+16+9=169\\ &\iff x^2=144\\ &\iff x=12\ \text{ou}\ x=-12. \end{aligned}

L'abscisse du point D est positive.

Donc D a pour coordonnées $(12\,;0\,;0)$ .

Question 3. b)

La droite $\Delta$ est perpendiculaire au plan (ABC), donc le vecteur normal $\vec n(3\,;1\,;0)$ est un vecteur directeur de $\Delta$ .

La droite $\Delta$ passe par D $(12\,;0\,;0)$ .

Une représentation paramétrique de $\Delta$ est donc

\begin{cases}x=12+3t\\y=t\\z=0\end{cases},\qquad t\in\mathbb{R}.

Réponse : $x=12+3t$ , $y=t$ , $z=0$ ( $t\in\mathbb{R}$ ).

Question 3. c)

La distance d'un point $(x_0\,;y_0\,;z_0)$ à un plan d'équation $ax+by+cz+d=0$ est

\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.

Avec D $(12\,;0\,;0)$ et le plan d'équation $3x+y-4=0$ :

\begin{aligned} d(\text{D},(\text{ABC}))&=\dfrac{|3\times 12+0+0-4|}{\sqrt{3^2+1^2+0^2}}\\ &=\dfrac{32}{\sqrt{10}}\\ &=\dfrac{32\sqrt{10}}{10}=\dfrac{16\sqrt{10}}{5}\\ &\approx 10{,}12. \end{aligned}

Donc la distance du point D au plan (ABC) est $\dfrac{16\sqrt{10}}{5}\approx 10{,}12$ .

Réponse : $\dfrac{16\sqrt{10}}{5}\approx 10{,}12$ .

Question 4.

On prend pour base le triangle ABC, rectangle en C (question 1. b)). Son aire est

\mathcal{B}=\dfrac12\times CA\times CB.

On a

\begin{aligned} CA&=\sqrt{(-4)^2+12^2+16^2}=\sqrt{16+144+256}=\sqrt{416}=4\sqrt{26},\\ CB&=\sqrt{(-4)^2+12^2+(-10)^2}=\sqrt{16+144+100}=\sqrt{260}=2\sqrt{65}. \end{aligned}

Donc

\mathcal{B}=\dfrac12\times\sqrt{416}\times\sqrt{260}=\dfrac12\sqrt{108\,160}=\dfrac12\times 104\sqrt{10}=52\sqrt{10}.

La hauteur associée à la base ABC est la distance de D au plan (ABC), soit $h=\dfrac{16\sqrt{10}}{5}$ (question 3. c)).

D'après la formule du volume d'un tétraèdre :

\begin{aligned} V&=\dfrac13\times\mathcal{B}\times h\\ &=\dfrac13\times 52\sqrt{10}\times\dfrac{16\sqrt{10}}{5}\\ &=\dfrac13\times\dfrac{52\times 16\times 10}{5}\\ &=\dfrac{1664}{3}\\ &\approx 554{,}7. \end{aligned}

Donc le volume du tétraèdre ABCD est, à l'unité de volume près, $555$ unités de volume.

Réponse : $V=\dfrac{1664}{3}\approx 555$ .

Points clés attendus

Coordonnées des vecteurs calculées une à une, repère orthonormé cité pour la norme et le produit scalaire.
Triangle rectangle : produit scalaire nul de deux vecteurs non nuls issus du sommet.
Vecteur normal : orthogonalité avec deux vecteurs non colinéaires du plan, puis équation avec vérification par les points.
Droite perpendiculaire au plan : le vecteur normal est un vecteur directeur.
Volume : aire de la base rectangle, hauteur égale à la distance de D au plan, formule $\frac13\mathcal{B}h$ citée.

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Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2023 (Amérique du Sud, 26 septembre 2023 (jour 1)), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (Denis Vergès) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

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