Bac 2023, Métropole : exercice 1

Partie A

Question 1.

Traduisons les données de l'énoncé en probabilités.

Dans la région, $0{,}4\,\%$ des vaches sont infectées : $P(I)=0{,}004$, donc $P(\overline{I})=1-0{,}004=0{,}996$.

Si la vache est atteinte, la probabilité que son test soit positif est $0{,}992$ : $P_I(T)=0{,}992$, donc $P_I(\overline{T})=1-0{,}992=0{,}008$.

Si la vache n'est pas atteinte, la probabilité que son test soit négatif est $0{,}984$ : $P_{\overline{I}}(\overline{T})=0{,}984$, donc $P_{\overline{I}}(T)=1-0{,}984=0{,}016$.

L'arbre pondéré est donc complété ainsi :

• de la racine vers $I$ : $0{,}004$   vers $\overline{I}$ : $0{,}996$

• de $I$ vers $T$ : $0{,}992$   de $I$ vers $\overline{T}$ : $0{,}008$

• de $\overline{I}$ vers $T$ : $0{,}016$   de $\overline{I}$ vers $\overline{T}$ : $0{,}984$.

Question 2. a)

On cherche $P(\overline{I}\cap\overline{T})$. D'après la définition de la probabilité conditionnelle :

Donc la probabilité que la vache ne soit pas atteinte par l'infection et que son test soit négatif est $0{,}980\,064$, soit $0{,}980$ à $10^{-3}$ près.

Réponse : $P(\overline{I}\cap\overline{T})=0{,}980\,064\approx0{,}980$.

Question 2. b)

Les évènements $I$ et $\overline{I}$ forment une partition de l'univers (ils sont incompatibles et leur réunion est l'univers, avec des probabilités non nulles).

D'après la formule des probabilités totales :

Calculons chaque terme :

Donc

Donc $P(T)=0{,}019\,904$, soit $0{,}020$ à $10^{-3}$ près : la probabilité que la vache présente un test positif est environ égale à $0{,}020$.

Question 2. c)

La valeur prédictive positive est $P_T(I)$. Comme $P(T)\neq0$, d'après la définition de la probabilité conditionnelle :

Donc la valeur prédictive positive du test est environ $0{,}199$ : lorsqu'un test est positif, la vache n'est infectée qu'avec une probabilité d'environ $19{,}9\,\%$.

Réponse : $P_T(I)\approx0{,}199$.

Question 2. d)

Le test donne une information erronée si et seulement si l'un des deux évènements $\overline{I}\cap T$ ou $I\cap\overline{T}$ se réalise. Ces deux évènements sont incompatibles (une vache ne peut pas être à la fois infectée et non infectée).

Donc la probabilité de l'évènement « le test est erroné » est

On a déjà $P(\overline{I}\cap T)=0{,}015\,936$, et

Donc

Donc la probabilité que le test donne une information erronée est $0{,}015\,968$, soit $0{,}016$ à $10^{-3}$ près.

Réponse : $0{,}015\,968\approx0{,}016$.

Partie B

Question 3. a)

On choisit $100$ vaches, et on assimile ce choix à $100$ tirages avec remise. Chaque tirage est une épreuve de Bernoulli : la vache a un test positif (succès) avec la probabilité $p=0{,}02$, ou non.

Ces $100$ épreuves de Bernoulli sont identiques et indépendantes (tirages avec remise), et $X$ compte le nombre de succès.

Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0{,}02$, notée $\mathcal{B}(100\,;\,0{,}02)$.

Question 3. b)

Pour tout entier $k$ tel que $0\leqslant k\leqslant100$, $P(X=k)=\binom{100}{k}\,0{,}02^{k}\,0{,}98^{100-k}$.

Pour $k=3$ :

À la calculatrice, $P(X=3)\approx0{,}182$ (arrondi au millième).

Donc la probabilité qu'il y ait exactement $3$ vaches présentant un test positif dans l'échantillon est environ $0{,}182$.

Réponse : $P(X=3)\approx0{,}182$.

Question 3. c)

On cherche $P(X\leqslant3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)$.

À la calculatrice, $P(X\leqslant3)\approx0{,}859$ (arrondi au millième).

Donc la probabilité qu'il y ait au plus $3$ vaches présentant un test positif dans l'échantillon est environ $0{,}859$.

Réponse : $P(X\leqslant3)\approx0{,}859$.

Question 4.

Soit $Y$ la variable aléatoire donnant le nombre de vaches testées positives dans un échantillon de $n$ vaches. Comme à la question 3. a), $Y$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;\,0{,}02)$ (épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de probabilité de succès $0{,}02$).

L'évènement « au moins une vache est testée positive » est $\{Y\geqslant1\}$. Son évènement contraire est $\{Y=0\}$, de probabilité

Donc $P(Y\geqslant1)=1-0{,}98^{n}$.

Résolvons l'inéquation $1-0{,}98^{n}\geqslant0{,}99$ :

On a divisé par $\ln(0{,}98)$, qui est strictement négatif car $0<0{,}98<1$ : le sens de l'inégalité est donc changé.

À la calculatrice, $\dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}98)}\approx227{,}95$.

Comme $n$ est un entier, la plus petite valeur possible est $n=228$.

Vérification : pour $n=227$, $1-0{,}98^{227}\approx0{,}9898<0{,}99$, et pour $n=228$, $1-0{,}98^{228}\approx0{,}9900\geqslant0{,}99$.

Donc il faut choisir au minimum $228$ vaches pour que la probabilité qu'au moins une vache soit testée positive soit supérieure ou égale à $0{,}99$.

Réponse : $n=228$.

Points clés attendus

• Partie A : traduire chaque donnée en probabilité conditionnelle et compléter l'arbre par les probabilités complémentaires.

• Question 2. b) : citer la formule des probabilités totales avec la partition $\{I,\overline{I}\}$.

• Question 2. c) : distinguer $P_T(I)$ (valeur prédictive positive) de $P_I(T)$.

• Question 2. d) : décomposer l'erreur en deux évènements incompatibles et additionner leurs probabilités.

• Partie B : justifier la loi binomiale (épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes), et passer par l'évènement contraire pour la question 4.

• Question 4 : citer la stricte croissance de $\ln$ et changer le sens de l'inégalité en divisant par $\ln(0{,}98)<0$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.