Bac 2023, Métropole : exercice 3

Question 1.

On a $u_1=\dfrac{1}{\mathrm{e}}$.

Pour $n=1$, la relation de récurrence donne

Donc

Pour $n=2$, la relation de récurrence donne

Donc

Donc $u_2=\dfrac{2}{\mathrm{e}^{2}}$ et $u_3=\dfrac{3}{\mathrm{e}^{3}}$.

Réponse : $u_2=\dfrac{2}{\mathrm{e}^{2}}$ et $u_3=\dfrac{3}{\mathrm{e}^{3}}$.

Question 2.

Le programme calcule $u_n$ en partant de $u_1$ et en appliquant $n-1$ fois la relation de récurrence (la boucle for i in range(1, n) fait varier $i$ de $1$ à $n-1$).

La ligne $L_2$ doit initialiser la variable u à $u_1=\dfrac{1}{\mathrm{e}}$.

À chaque passage dans la boucle, la variable $i$ est l'indice du terme courant, u vaut $u_i$, et la ligne $L_4$ doit calculer $u_{i+1}=\dfrac{1}{\mathrm{e}}\left(1+\dfrac{1}{i}\right)u_i$.

On suppose que la fonction exp est importée au début du programme (from math import exp). Le programme complété est :

def suite(n):
    u = 1/exp(1)
    for i in range(1, n):
        u = (1/exp(1))*(1 + 1/i)*u
    return u

Donc $L_2$ : u = 1/exp(1) et $L_4$ : u = (1/exp(1))*(1 + 1/i)*u.

Réponse : $L_2$ : u = 1/exp(1)   $L_4$ : u = (1/exp(1))*(1 + 1/i)*u.

Question 3. a)

Soit $n$ un entier naturel non nul.

On a $n\geqslant 1$, donc $\dfrac{1}{n}\leqslant 1$.

En ajoutant $1$ à chaque membre, on obtient

Or $\mathrm{e}\approx 2{,}718$, donc $2<\mathrm{e}$.

Par transitivité de l'ordre, on obtient

Donc, pour tout entier naturel $n$ non nul, $1+\dfrac{1}{n}\leqslant\mathrm{e}$.

Question 3. b)

Soit $n$ un entier naturel non nul.

D'après la question précédente, $1+\dfrac{1}{n}\leqslant\mathrm{e}$.

Comme $\mathrm{e}>0$, on divise chaque membre par $\mathrm{e}$ sans changer le sens de l'inégalité :

Par hypothèse, $u_n>0$. On multiplie chaque membre par $u_n$, nombre strictement positif, sans changer le sens de l'inégalité :

Le membre de gauche est $u_{n+1}$, donc $u_{n+1}\leqslant u_n$.

Donc la suite $(u_n)$ est décroissante.

Question 3. c)

La suite $(u_n)$ est décroissante d'après la question précédente.

Elle est minorée par $0$, puisque tous ses termes sont strictement positifs.

D'après le théorème de la limite monotone (une suite décroissante et minorée converge), la suite $(u_n)$ converge.

Donc la suite $(u_n)$ est convergente.

Réponse : oui, la suite $(u_n)$ converge.

Question 4. a)

Pour tout entier $n\geqslant 1$, on note $P(n)$ la propriété $u_n=\dfrac{n}{\mathrm{e}^{n}}$.

Initialisation. Pour $n=1$, on a $u_1=\dfrac{1}{\mathrm{e}}$ par définition, et $\dfrac{1}{\mathrm{e}^{1}}=\dfrac{1}{\mathrm{e}}$.

Donc $P(1)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ un entier fixé, $k\geqslant 1$, tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire $u_k=\dfrac{k}{\mathrm{e}^{k}}$ (hypothèse de récurrence).

Montrons que $P(k+1)$ est vraie, c'est-à-dire $u_{k+1}=\dfrac{k+1}{\mathrm{e}^{k+1}}$.

Par définition de la suite, puisque $k\geqslant 1$,

On remplace $u_k$ par $\dfrac{k}{\mathrm{e}^{k}}$ (hypothèse de récurrence) et on écrit $1+\dfrac{1}{k}=\dfrac{k+1}{k}$ :

On simplifie par $k$, qui est non nul :

Donc $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(1)$ est vraie et $P$ est héréditaire à partir du rang $1$ : d'après le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout entier $n\geqslant 1$.

Donc, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n=\dfrac{n}{\mathrm{e}^{n}}$.

Question 4. b)

Pour tout entier $n\geqslant 1$, on a

D'après le théorème des croissances comparées,

Par passage à l'inverse (l'inverse d'une quantité qui tend vers $+\infty$ tend vers $0$), on obtient

Donc la suite $(u_n)$ converge vers $0$, ce qui est cohérent avec la question 3. c).

Réponse : $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0$.

Points clés attendus

• Détailler les calculs de $u_2$ et $u_3$ en utilisant la relation de récurrence avec $n=1$ puis $n=2$.

• Python : initialiser $u$ à $u_1$ en $L_2$, et traduire la relation de récurrence en $L_4$ avec l'indice $i$ de la boucle.

• Pour la décroissance, utiliser la positivité de $u_n$ et l'inégalité $\dfrac{1}{\mathrm{e}}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\leqslant 1$.

• Citer le théorème de la limite monotone : suite décroissante et minorée, donc convergente.

• Récurrence rédigée complètement (initialisation, hérédité avec hypothèse de récurrence, conclusion).

• Citer les croissances comparées pour la limite de $\dfrac{n}{\mathrm{e}^{n}}$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.