Bac 2023, Métropole : exercice 3

Partie A

Question 1.

Traduisons les données de l'énoncé en probabilités.

On a $P(A)=x$, donc $P(\overline{A})=1-x$.

Si un individu est allergique, le test est positif dans $97\,\%$ des cas : $P_A(T)=0{,}97$, donc $P_A(\overline{T})=1-0{,}97=0{,}03$.

Si un individu n'est pas allergique, le test est négatif dans $95{,}7\,\%$ des cas : $P_{\overline{A}}(\overline{T})=0{,}957$, donc $P_{\overline{A}}(T)=1-0{,}957=0{,}043$.

Les branches de l'arbre sont donc complétées ainsi :

• de la racine vers $A$ : $x$   vers $\overline{A}$ : $1-x$

• de $A$ vers $T$ : $0{,}97$   de $A$ vers $\overline{T}$ : $0{,}03$

• de $\overline{A}$ vers $T$ : $0{,}043$   de $\overline{A}$ vers $\overline{T}$ : $0{,}957$.

Question 2. a)

Les évènements $A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers (ils sont incompatibles et leur réunion est l'univers entier, avec $P(A)=x\neq0$ et $P(\overline{A})\neq0$).

D'après la formule des probabilités totales :

Avec la définition de la probabilité conditionnelle, $P(A\cap T)=P(A)\times P_A(T)$ et $P(\overline{A}\cap T)=P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(T)$. Donc

Donc $P(T)=0{,}927\,x+0{,}043$.

Question 2. b)

L'énoncé indique que $20\,\%$ des individus ont un test positif, donc $P(T)=0{,}2$.

D'après la question précédente :

À la calculatrice, $x\approx 0{,}169$ (arrondi au millième).

Donc la probabilité que l'individu choisi soit allergique est $x=\dfrac{0{,}157}{0{,}927}\approx 0{,}169$.

Réponse : $P(A)=\dfrac{0{,}157}{0{,}927}\approx 0{,}169$.

Question 3.

Il s'agit de calculer la probabilité qu'un individu soit allergique sachant que son test est positif, c'est-à-dire $P_T(A)$.

D'après la définition de la probabilité conditionnelle, comme $P(T)=0{,}2\neq0$ :

En remplaçant $x$ par sa valeur exacte $\dfrac{0{,}157}{0{,}927}$ :

Comme $0{,}821>0{,}8$, si le test d'un individu choisi au hasard est positif, la probabilité que cet individu soit allergique est supérieure à $80\,\%$.

Donc l'affirmation est justifiée : cette probabilité vaut environ $82{,}1\,\%$.

Réponse : $P_T(A)\approx 0{,}821>0{,}8$.

Partie B

Question 1.

On interroge $150$ habitants, et on admet que ce choix se ramène à $150$ tirages successifs indépendants avec remise.

Chaque tirage est une épreuve de Bernoulli : l'habitant est allergique (succès) avec la probabilité $p=0{,}08$, ou ne l'est pas.

Ces $150$ épreuves de Bernoulli sont identiques et indépendantes, et la variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès.

Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=150$ et $p=0{,}08$, notée $\mathcal{B}(150\,;\,0{,}08)$.

Question 2.

Pour tout entier $k$ tel que $0\leqslant k\leqslant 150$ :

Pour $k=20$ :

À la calculatrice, $P(X=20)\approx 0{,}008$ (arrondi au millième).

Donc la probabilité que exactement $20$ personnes parmi les $150$ interrogées soient allergiques est environ $0{,}008$.

Réponse : $P(X=20)\approx 0{,}008$.

Question 3.

On a $10\,\%\times150=15$. Au moins $10\,\%$ des personnes interrogées sont allergiques si et seulement si $X\geqslant15$.

L'évènement contraire de $\{X\geqslant15\}$ est $\{X\leqslant14\}$, donc

À la calculatrice, $P(X\leqslant14)\approx 0{,}780$, donc $P(X\geqslant15)\approx 0{,}220$ (arrondi au millième).

Donc la probabilité qu'au moins $10\,\%$ des $150$ personnes interrogées soient allergiques est environ $0{,}220$.

Réponse : $P(X\geqslant15)\approx 0{,}220$.

Points clés attendus

• Partie A : traduire chaque donnée en probabilité conditionnelle et compléter l'arbre avec les probabilités complémentaires.

• Question 2. a) : citer la formule des probabilités totales avec la partition $\{A,\overline{A}\}$.

• Question 3 : reconnaître que l'on cherche $P_T(A)$ et non $P_A(T)$, puis comparer à $0{,}8$.

• Partie B : justifier la loi binomiale (épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes) et donner ses paramètres.

• Question 3 : traduire « au moins $10\,\%$ » par $X\geqslant15$ et passer par l'évènement contraire.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.