Bac 2023, La Réunion : exercice 1

Partie A

Question 1.

D'après l'énoncé, la probabilité que la personne ne décroche pas au premier appel est $P\left(\overline{D_1}\right)=0{,}6$.

Les évènements $D_1$ et $\overline{D_1}$ sont contraires, donc

Si la personne décroche au premier appel, elle achète le produit avec la probabilité $0{,}3$ :

Les évènements $A$ et $\overline{A}$ sont contraires, donc

Si la personne n'a pas décroché au premier appel, on procède à un second appel, et la probabilité qu'elle ne décroche pas est $0{,}3$ :

Les évènements $D_2$ et $\overline{D_2}$ sont contraires, donc

Si la personne décroche au second appel, elle achète le produit avec la probabilité $0{,}2$ :

Donc

L'arbre pondéré complété porte donc les valeurs suivantes :

• branche $D_1$ : $0{,}4$   puis $A$ : $0{,}3$ et $\overline{A}$ : $0{,}7$

• branche $\overline{D_1}$ : $0{,}6$   puis $D_2$ : $0{,}7$ et $\overline{D_2}$ : $0{,}3$

• à la suite de $\overline{D_1}\cap D_2$ : $A$ : $0{,}2$ et $\overline{A}$ : $0{,}8$.

Question 2.

Les évènements $D_1$ et $\overline{D_1}$ forment une partition de l'univers.

Une personne n'achète le produit que dans deux cas : elle décroche au premier appel et achète, ou bien elle ne décroche pas au premier appel, décroche au second et achète. En effet, une personne qui ne décroche pas au second appel n'est plus contactée et n'achète donc pas.

Donc

et ces deux évènements sont incompatibles, puisque $D_1$ et $\overline{D_1}$ le sont.

D'après la formule des probabilités totales, et en utilisant la formule des probabilités composées sur les branches de l'arbre :

Donc la probabilité que la personne achète le produit est bien $P(A)=0{,}204$.

Question 3.

On cherche la probabilité de $D_1$ sachant $A$, c'est-à-dire $P_A(D_1)$.

D'après la définition de la probabilité conditionnelle, avec $P(A)\neq 0$ :

On a $P(A\cap D_1)=0{,}4\times 0{,}3=0{,}12$ et $P(A)=0{,}204$, donc

Donc, sachant que la personne a acheté le produit, la probabilité qu'elle ait décroché au premier appel est $\dfrac{10}{17}$, soit environ $0{,}588$ au millième près.

Réponse : $P_A(D_1)=\dfrac{10}{17}\approx 0{,}588$.

Partie B

Question 1. a)

On répète $30$ fois la même épreuve de Bernoulli (la personne achète ou n'achète pas), de probabilité de succès $0{,}204$, ces épreuves étant identiques et indépendantes.

Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=30$ et $p=0{,}204$, notée $\mathcal{B}(30\,;\,0{,}204)$.

Réponse : $X\sim\mathcal{B}(30\,;\,0{,}204)$.

Question 1. b)

Pour une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, on a, pour tout entier $k$ tel que $0\leqslant k\leqslant n$ :

Ici, $n=30$, $p=0{,}204$, $1-p=0{,}796$ et $k=6$ :

À la calculatrice, on obtient $P(X=6)\approx 0{,}179$ au millième près.

Donc la probabilité qu'exactement $6$ personnes de l'échantillon achètent le produit est environ $0{,}179$.

Réponse : $P(X=6)\approx 0{,}179$.

Question 1. c)

L'espérance d'une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;\,p)$ est $E(X)=np$.

Donc

Interprétation : sur un grand nombre d'échantillons de $30$ personnes, le nombre moyen de personnes qui achètent le produit est environ $6{,}12$ par échantillon.

Réponse : $E(X)=6{,}12$.

Question 2.

Soit $n$ un entier naturel non nul. On note $Y_n$ le nombre de personnes qui achètent le produit dans un échantillon de $n$ personnes.

Comme à la question 1. a), $Y_n$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;\,0{,}204)$.

L'évènement « au moins une personne achète le produit » est le contraire de l'évènement « aucune personne n'achète le produit », donc

On cherche le plus petit entier $n$ tel que $P(Y_n\geqslant 1)\geqslant 0{,}99$ :

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$, et les deux membres sont strictement positifs, donc

Comme $0<0{,}796<1$, on a $\ln(0{,}796)<0$. Diviser par $\ln(0{,}796)$ change le sens de l'inégalité :

Le plus petit entier naturel vérifiant cette inégalité est $21$.

Contrôle : $1-0{,}796^{20}\approx 0{,}9896<0{,}99$ et $1-0{,}796^{21}\approx 0{,}9917\geqslant 0{,}99$.

Donc la plus petite taille d'échantillon pour laquelle la probabilité qu'au moins une personne achète le produit soit supérieure ou égale à $0{,}99$ est $n=21$.

Réponse : $n=21$.

Points clés attendus

• Compléter l'arbre en utilisant les évènements contraires sur chaque branche, et rappeler que $\overline{D_2}$ n'est suivi d'aucun achat.

• Citer la formule des probabilités totales avec la partition $\{D_1\,;\overline{D_1}\}$ et utiliser les probabilités composées sur la branche $\overline{D_1}\cap D_2\cap A$.

• Utiliser la définition de la probabilité conditionnelle pour la question A.3.

• Justifier la loi binomiale : $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de probabilité $0{,}204$.

• Pour le seuil, passer par l'évènement contraire, puis par le logarithme en précisant le changement de sens de l'inégalité ($\ln(0{,}796)<0$).

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.